39-50 Encontre os limites.

39. lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 5 x 3 x

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Aqui o que iremos fazer é a encontrar o limite. Más infelizmente diretamente não é possível. Vamos encontrar juntos uma saída.

Quando substituímos direto o zero nessa expressão temos um indeterminação:

sen ⁡ 5 0 3 0 = 0 0

Pra ESSE TIPO de indeterminação podemos usar a regra de L’Hopital.

Essa regra diz que se derivarmos em cima e em baixo dessa fração podemos calcular o limite do que aparecer, dessa forma:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 5 x 3 x = lim x → 0 ⁡ d d x sen ⁡ 5 x d d x 3 x

Passo 2

Mas a gente ainda não sabe calcular a derivada de função composta como esse seno, então vamos reescever o limite dizendo que:

5 x = u

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 5 x 3 x = lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u 3 u 5

Agora sim podemos usar ao L’Hopital sem problemas:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 5 x 3 x = lim u → 0 ⁡ d d u sen ⁡ u d d u 3 5 u

Derivada do seno é o cosseno:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 5 x 3 x = lim u → 0 ⁡ c os ⁡ u 3 5

Agora podemos substituir o u por 0 sem problemas:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 5 x 3 x = cos ⁡ 0 3 5

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 5 x 3 x = 1 3 5

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 5 x 3 x = 5 3

Prontinho, limite calculado

Resposta

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 5 x 3 x = 5 3

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