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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.5 - Ex. 14

Encontre f^' ( x ) : f (x) = (s e c ( x ))/(1 + t g (x))

Passo 1

Faalaaa galera, para calcular essa derivada ,primeiro percebemos que temos uma divisão na nossa função, para resolver essa derivada, vamos ter que usar a regra do quociente.

Vamos lembrar que regra é essa?

(d)/(d x) ((f (x))/(g ( x ))) = (f^' (x) g (x) - f (x) g^' (x))/((g (x))^2)

Nesse caso, nossa f (x) = s e c ( x ) e g (x) = 1 + t g (x) .

Mas antes de jogar logo na nossa regrinha, vamos relembrar as derivadas:

(d)/(d x) (s e c ( x )) = s e c ( x ) * t a n ( x )

(d)/(d x) (t g (x)) = s e c^2 ( x )

Essas derivadas podem ser resolvidas através daquele limite grandão, mas são muito grandes e gastam tempo. Por isso as derivadas trigonométricas são tabeladas, como essas duas ai em cima.

Passo 2

Vamos usar a regra do quociente:

f^' (x) = ((sec (x))^' * (1 + t g (x)) - (sec (x)) * (1 + t g (x))^')/((1 + t g (x))^2)

Resolvendo: f^' (x) = (( s e c ( x ) * t g ( x ) ) * (1 + t g (x)) - (sec (x)) * ( s e c^2 ( x ) ))/((1 + t g (x))^2)

Colocando - sec (x) em evidência:

f^' (x) = ((- sec (x)) ( - tg (x) - t g^2 (x) + ( s e c^2 ( x ) ))/((1 + t g (x))^2)

Uma identidade trigonométrica nos diz:

sec^2 x - t g^2 x = 1

Substituindo:

f^' (x) = ((- sec (x)) ( - tg (x) + 1 ))/((1 + t g (x))^2)

Ou f^' (x) = (sec (x) * tg (x) - sec (x))/((1 + t g (x))^2)

Podemos parar por aqui.

Resposta

f^' (x) = ((- sec (x)) ( - tg (x) + 1 ))/((1 + t g (x))^2)

Ou

f^' (x) = (sec (x) * tg (x) - sec (x))/((1 + t g (x))^2)

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Encontre (d y)/(d x) :y = a r c cssec (e^x)
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28- a) Mostre que y = c o sx e y = s e nx são soluções da equação y ' ' + y = 0 . b) Mostre que y =As e nx + Bc o sx é uma solução da equação y ' ' + y = 0 para qualquer valor das constantes A e B .