7 – 46 Encontre a derivada da função.

33. G(x) = 4^(C/x)

Passo 1

Olá, meu amigo. Vamos resolver essa atividade.

Aqui a gente tem que derivar a função:

G x = 4 C x

A função dada no enunciado é de uma função composta, então precisamos usar a regra da cadeia para calcular a derivada.

A derivada de uma função composta, f g x ,   onde, g x = u , vai ser igual a

f ' x = d d u f u ⋅ d d x g x

Então é isso, vamos partir agora para a resolução.

Passo 2

Temos então a derivada de:

G ' x = d d x 4 C / x

A função interna é a seguinte:

u = g x = C x

E a externa é:

f u = 4 u

A derivada de uma função composta:

G x = f g x

Onde:

g x = u

vai ser igual a:

G ' x = d d u f u ⋅ d d x g x

Então a derivada da nossa função fica:

G ' x = d d u 4 u ⋅ d d x C x

Sabemos que aquela primeira derivada vai ser igual à:

d d x b x = b x ln ⁡ b

G ' x = 4 u ln ⁡ 4 ⋅ d d x C x

E a segunda derivada é a derivada de um polinômio:

G ' x = 4 u ln ⁡ 4 ⋅ d d x C x - 1

Que fica:

G ' x = 4 u ln ⁡ 4 ⋅ - C x - 2

Como

u = g x = C x

então a derivada é igual a

G ' x = 4 C / x ln ⁡ 4 ⋅ - C x - 2

G ' x = - C ln ⁡ 4 ⋅ 4 C / x x 2

Resposta

G ' x = - C ln ⁡ 4 ⋅ 4 C / x x 2

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