Enunciado

39-50 Encontre os limites.

39. lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x sen ⁡ π x

Passo 1

Vamos então meu amigo, eu e você, resolvermos esse limite.

Aqui a gente vai resolver o limite:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x sen ⁡ π x

Que parece um tanto quanto complicado, mas veja que facilitará muito para a gente se a gente tentar reescrever de forma que possamos aplicar algum limite fundamental aqui.

Lembre-se do limite fundamental:

lim t → 0 ⁡ sin ⁡ t t = 1

Então iremos manipular a nossa função para que possamos conseguir aplicá-lo.

Passo 2

Precisamos reescrever esse limite:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x sen ⁡ π x

Multiplicando o numerador e o denominador por x e utilizando de propriedades de limites que nos permite calcular o limite do produto em dois limites:

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x ∙ lim x → 0 ⁡ x sin ⁡ π x

Agora vamos multiplicar o numerador e o denominador do limite destacado por π :

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x ∙ lim x → 0 ⁡ π x π sin ⁡ π x

Agora vamos a uma sacada, vamos chamar π x = θ :

Note que, como θ = π x → 0 pois x → 0 :

= lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x ∙ lim θ → 0 ⁡ θ π sin ⁡ θ

Podemos reescrever o limite do termo destacado seguinte forma:

= lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x ∙ lim θ → 0 ⁡ 1 π sin ⁡ θ θ

E utilizado de:

lim t → 0 ⁡ sin ⁡ t t = 1

Teremos:

= 1 ∙ 1 π = 1 π

Resposta

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x sen ⁡ π x = 1 π

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1 – 16 Derive.1. f (x) = x^2 sen x
1 – 16 Derive.15. f t = t e t cotg ⁡ t
1 – 16 Derive.14. y = sen ⁡ t 1 + tg ⁡ t