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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.3 - Ex. 14

1 – 16 Derive.

14. y = sen ⁡ t 1 + tg ⁡ t

Passo 1

Olá, meu amigo. Vou te ajudar a derivar essa função.

Sei que derivar funções trigonométricas pode parecer algo difícil, mas prometo que não é.

Primeiro, vamos analisar aqui que temos uma divisão de funções, sendo assim, deveremos aplicar a regra do quociente.

Então, a regra do quociente é a seguinte:

Dada um quociente de funções u ( x ) / v x , a derivada é dada por:

d d x u v = v u ' - u v ' v 2

Já as derivadas das funções trigonométricas são tabeladas, onde:

d d t sin ⁡ t = cos ⁡ t

d d t tan ⁡ t = sec 2 ⁡ t

Então é isso que precisamos para realizar essa derivação.

Passo 2

Aplicando a derivada na função:

y ' = d d t sen ⁡ t 1 + tg ⁡ t

Vamos usar a regra do quociente:

y ' = d d t sen ⁡ t ⋅ 1 + tg ⁡ t - d d t 1 + tg ⁡ t ⋅ sen ⁡ t 1 + tg ⁡ t 2

Colocando a derivada do sin ⁡ t :

y ' = cos ⁡ t ⋅ 1 + tg ⁡ t - d d t 1 + d d t tg ⁡ t ⋅ sen ⁡ t 1 + tg ⁡ t 2

Colocando a derivada de tan ⁡ t :

y ' = cos ⁡ t ⋅ 1 + tg ⁡ t - 0 + sec 2 ⁡ t ⋅ sen ⁡ t 1 + tg ⁡ t 2

E nossa equação fica:

y ' = cos ⁡ t ⋅ 1 + tg ⁡ t - sec 2 ⁡ t ⋅ sen ⁡ t 1 + tg ⁡ t 2

Resposta

y ' = cos ⁡ t ⋅ 1 + tg ⁡ t - sec 2 ⁡ t ⋅ sen ⁡ t 1 + tg ⁡ t 2

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