Enunciado

39-50 Encontre os limites.

47. lim θ → 0 ⁡ cos ⁡ θ - 1 2 θ 2

Passo 1

Falaii galerinhaa, bora resolver essa comigo??

A teoria de limites é fundamental para entender o comportamento de funções quando se aproximam de certos valores, como zero no caso deste problema.

No cálculo diferencial, os limites são usados para definir conceitos importantes, como a continuidade de uma função e a derivada de uma função em um ponto.

Neste caso específico, estamos interessados no limite de uma função trigonométrica à medida que a variável independente se aproxima de um valor específico ( θ   →   0 ) .

Para resolver o limite, utilizamos técnicas como a expansão em série de Taylor para aproximar a função c o s ( θ ) em torno de θ   =   0 .

A expansão de Taylor nos permite expressar a função como uma série infinita de termos polinomiais.

Ao truncar essa série e considerar apenas os termos relevantes para o problema em questão, podemos simplificar a expressão e encontrar o limite desejado.

Essa habilidade de aproximar funções complicadas por meio de séries polinomiais é uma ferramenta poderosa no cálculo, permitindo-nos resolver problemas que, de outra forma, seriam difíceis ou impossíveis de abordar diretamente.

Passo 2

Devemos procurar limites que a gente saiba resolver, um limite fundamental conhecido é o seguinte:

lim θ → 0 ⁡ sen ⁡ θ θ = 1

Então, se multiplicarmos por sen ⁡ θ 2 em cima e em baixo a função dada teríamos duas vezes esse limite:

lim θ → 0 ⁡ cos ⁡ θ - 1 2 θ 2 ⋅ sen ⁡ θ 2 sen ⁡ θ 2

Podemos reescrever a expressão dessa forma:

lim θ → 0 ⁡ sen ⁡ θ θ ⋅ sen ⁡ θ θ ⋅ cos ⁡ θ - 1 2 sen ⁡ θ 2

Passo 3

Nós podemos usar a seguinte relação tigonometrica:

sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1

E reescrever o limite dessa forma:

lim θ → 0 ⁡ sen ⁡ θ θ ⋅ sen ⁡ θ θ ⋅ cos ⁡ θ - 1 2 1 - cos 2 ⁡ θ

Para simplificar aquele ultimo termo podemos abrir aquele o denominador usando a seguinte relação:

a + b a - b = a 2 - b 2

Passo 4

Então o limite fica:

lim θ → 0 ⁡ sen ⁡ θ θ ⋅ sen ⁡ θ θ ⋅ cos ⁡ θ - 1 2 1 + cos ⁡ θ 1 - cos ⁡ θ

Simplificando em cima e e baixo:

lim θ → 0 ⁡ sen ⁡ θ θ ⋅ sen ⁡ θ θ ⋅ - 1 2 1 + cos ⁡ θ

Agora podemos separar em três limites:

lim θ → 0 ⁡ sen ⁡ θ θ ⋅ lim θ → 0 ⁡ sen ⁡ θ θ ⋅ lim θ → 0 ⁡ - 1 2 1 + cos ⁡ θ

Passo 5

Os dois primeiros limites são os limites fundamentais e o segundo é só substituir por θ por 0 :

= 1 ⋅ 1 ⋅ - 1 2 1 + cos ⁡ 0

= - 1 4

O limite fica:

lim θ → 0 ⁡ cos ⁡ θ - 1 2 θ 2 = - 1 4

Resposta

lim θ → 0 ⁡ cos ⁡ θ - 1 2 θ 2 = - 1 4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

39-50 Encontre os limites.39. underset(x - 0)(lim) (sen 5 x)/(3 x)
17. Prove que (d)/(d x) (cossec x) = - cossec x cotg x
1 – 16 Derive.15. f (theta) = theta cos theta sen theta
Derive.g ( t ) = 4 s e c t + t g t
1 – 16 Derive.2. f (x) = x cos x + 2 tg x