Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.3 - Ex. 47
39-50 Encontre os limites.
47.
Passo 1
Falaii galerinhaa, bora resolver essa comigo??
A teoria de limites é fundamental para entender o comportamento de funções quando se aproximam de certos valores, como zero no caso deste problema.
No cálculo diferencial, os limites são usados para definir conceitos importantes, como a continuidade de uma função e a derivada de uma função em um ponto.
Neste caso específico, estamos interessados no limite de uma função trigonométrica à medida que a variável independente se aproxima de um valor específico
Para resolver o limite, utilizamos técnicas como a expansão em série de Taylor para aproximar a função em torno de .
A expansão de Taylor nos permite expressar a função como uma série infinita de termos polinomiais.
Ao truncar essa série e considerar apenas os termos relevantes para o problema em questão, podemos simplificar a expressão e encontrar o limite desejado.
Essa habilidade de aproximar funções complicadas por meio de séries polinomiais é uma ferramenta poderosa no cálculo, permitindo-nos resolver problemas que, de outra forma, seriam difíceis ou impossíveis de abordar diretamente.
Passo 2
Devemos procurar limites que a gente saiba resolver, um limite fundamental conhecido é o seguinte:
Então, se multiplicarmos por em cima e em baixo a função dada teríamos duas vezes esse limite:
Podemos reescrever a expressão dessa forma:
Passo 3
Nós podemos usar a seguinte relação tigonometrica:
E reescrever o limite dessa forma:
Para simplificar aquele ultimo termo podemos abrir aquele o denominador usando a seguinte relação:
Passo 4
Então o limite fica:
Simplificando em cima e e baixo:
Agora podemos separar em três limites:
Passo 5
Os dois primeiros limites são os limites fundamentais e o segundo é só substituir por por :
O limite fica: