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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.3 - Ex. 16

1 – 16 Derive.

15. f t = t e t cotg ⁡ t

Passo 1

Oiee galerinha, bora resolver essa comigo?

Para derivar f t = t e t cotg ⁡ t , utilizamos a regra do produto da diferenciação, que nos diz como encontrar a derivada do produto de duas funções.

A regra do produto afirma que, se tivermos duas funções u t e   v ( t ) , a derivada do produto \( u t ⋅ v ( t ) , é dada por:

u ⋅ v ' = u ' ⋅ v + u ⋅ v '

Passo 2

O primeiro passo para derivar essa função é aplicar a regra do produto:

f ' t = d d t t e t cotg ⁡ t

Porém temos duas multiplicações nessa expressão, vamo considerar nesse primeiro passo

u = t

e

v = e t cotg ⁡ t

Derivada do primeiro vezes o segundo, mais a derivada do segundo vezes o primeiro:

f ' t = d d t t ⋅ e t cotg ⁡ t + d d t e t cotg ⁡ t ⋅ t

f ' t = 1 ⋅ e t cotg ⁡ t + d d t e t cotg ⁡ t ⋅ t

Passo 3

Agora vamos usar a regra do produto mais uma vez na derivada que sobrou:

f ' t = e t cotg ⁡ t + d d t e t ⋅ cotg ⁡ t + d d t cotg ⁡ t ⋅ e t ⋅ t

A derivada da cotangente é menos a cossecante ao quadrado e a derivada do exponenial é ele mesmo:

f ' t = e t cotg ⁡ t + e t ⋅ cotg ⁡ t + - cossec 2 ⁡ t ⋅ e t ⋅ t

Podemos tirar o e t em evidência no segundo termo:

f ' t = e t cotg ⁡ t + cotg ⁡ t - cossec 2 ⁡ t ⋅ t e t

Resposta

f ' t = e t cotg ⁡ t + cotg ⁡ t - cossec 2 ⁡ t ⋅ t e t

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