Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.3 - Ex. 49
39-50 Encontre os limites.
49.
Passo 1
Bora para mais ummm??
Este problema ilustra a aplicação da teoria dos limites e da regra de L'Hôpital no cálculo diferencial.
A teoria dos limites é essencial para entender o comportamento de funções quando a variável independente se aproxima de um determinado valor, enquanto a regra de L'Hôpital é uma ferramenta poderosa para resolver indeterminações do tipo ou .
No contexto deste problema, estamos interessados no limite de uma expressão trigonométrica quando a variável se aproxima de .
A expressão inicial envolve a tangente, o seno e o cosseno de que têm valores específicos quando se aproxima de .
No entanto, a forma inicial da expressão leva a uma forma indeterminada , o que nos impede de avaliar o limite diretamente.
A regra de L'Hôpital nos permite resolver essa indeterminação.
Ela afirma que, sob certas condições, o limite de uma função pode ser calculado tomando-se o limite das derivadas da função original.
Aplicamos a regra de L'Hôpital derivando o numerador e o denominador da expressão original em relação a o que nos permite simplificar a expressão e calcular o limite.
Depois de derivar o numerador e o denominador, substituímos por e obtemos um resultado definitivo para o limite.
Passo 2
Nós podemos substituir a tangente por seno sobre cosseno, dessa forma fica mais fácil visualizar alguma simplificação:
Se nós multiplicarmos por em cima e embaixo, poderemos simplificar a expressão:
Passo 3
Os termos do numerador e do denominador são iguais só de sinais trocados:
Cortando em cima e embaixo:
Agora é só substituir por :
Passo 4
Multiplicando por em cima embaixo:
Então o limite fica: