Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.3 - Ex. 53
- Encontre as assíntotas verticais e horizontais.
- Encontre os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente.
- Encontre os valores máximos e mínimos locais.
- Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
- Use a informação das partes (a) – (d) pra esboçar o gráfico de .
Passo 1
E aí! tudo certinho?
Nesse problema foi dada a função
E ela nos pede uma série de coisas... as assíntotas horizontais e verticais, os intervalos crescente e decrescente da função, os valores máximos e mínimos locais, os intervalos de concavidades, os pontos de inflexão e ainda temos que esboçar o gráfico de
Bastante coisa, não é?
As assíntotas horizontais são obtidas em , onde é obtido em
As assíntotas horizontais são obtidas como , onde é obtido a partir de
Os intervalos de crescimento e decrescimento são obtidos a partir da derivada de onde em obtemos o intervalo de crescimento e o intervalo de decrescimento.
Para obter os máximos e mínimos locais, fazemos para obter os pontos críticos e aplicamos o teste da segunda derivada... esse teste consiste em calcular a segunda derivada de e aplicar os pontos críticos... , é um ponto de mínimo, mas se , é um ponto de máximo.
Os pontos de inflexão são obtidos quando e as concavidades são determinadas quando (concavidade positiva) e (concavidade negativa).
Bora começar!
Passo 2
No item a) precisamos achar as assíntotas, então vamos calcular o limite.
Primeiro, vamos achar as assíntotas horizontais
Como está ao quadrado, tanto faz se
Logo, é assíntota horizontal.
E como é contínua para todo , não temos nenhuma assíntota vertical.
Tranquilo até aqui?
Passo 3
No item b) precisamos achar onde cresce ou decresce, mas pra isso precisamos da derivada e dos pontos críticos, então vamos encontrá-los.
Derivando , usando a regra da cadeia, temos que
A inclinação de está relacionada diretamente com o sinal de , então se , temos
O termo nunca é igual a , então podemos simplificá-lo
Assim, é crescente se .
E para
Então é decrescente se .
Show?
Passo 4
Para determinar os pontos de máximos e mínimos, temos que determinar os valores de que satisfazem
Do passo anterior vimos que é crescente até e depois decresce.
Com isso podemos afirmar que é um ponto de máximo global.
Substituindo em , temos
Então o ponto de máximo global é .
Estamos quase lá!
Passo 5
Precisamos saber da concavidade da fun��ão, beleza? Então vamos calcular a segunda derivada.
Usando a regra da cadeia e a regra do produto, temos que
Arrumando as contas,
Se a concavidade é voltada para cima, e isso acontece em:
Para que essa inequação seja verdadeira, temos dois possíveis intervalos...
Já para a concavidade é voltada para baixo, ou seja
Está acompanhando?
Passo 6
Agora para encontrar os pontos de inflexão fazemos , ou seja
Ou seja,
Portanto temos dois pontos de inflexão!
Estamos quase no fim!
Passo 7
Agora, temos que esboçar o gráfico de . Vamos condensar tudo que encontramos até aqui...
Temos um ponto máximo em .
Temos dois pontos de inflexão, que é quando a função muda de concavidade, em e em .
A função é crescente até e decrescente a partir desse ponto.
Temos uma assíntota horizontal em e não temos assíntotas verticais.
A função possui concavidade positiva em e em . E concavidade negativa em .
Com isso podemos esboçar o gráfico de como...
E fim! Conseguiu aí? Responde Aí!
Resposta
muda de crescente para decrente em , então é um ponto de máximo local. Não existe mínimo.
é côncava para cima em e É côncava para baixo em .
, são pontos de inflexão.
