41. Prove o Teorema 4.4.3 (ii)

Passo 1

Primeiro vamos ver qual é o teorema que ele quer que provemos.

O teorema diz o seguinte:

“Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a,b] e derivável no intervalo aberto (a,b):

  1. Se f^' (x) > 0 para todo x em (a,b), então f será crescente em [a,b];
  2. Se f^' (x) < 0 para todo x em (a,b), então f será decrescente em [a,b];”

O enunciado quer que provemos o item dois.

Passo 2

Para começar, sejam x_1 e x_2 dois números quaisquer no intervalo [ a , b ] , tais que x_1 > x_2 .

Então, f é contínua em [ x_1 , x_2 ] e derivável em ( x_1 , x_2 ) .

Passo 3

Para prosseguirmos precisamos usar o teorema do valor médio, que diz:

Se f é uma função contínua em [ a , b ] , e derivável em ( a , b ) então existe c pertencente a ( a , b ) tal que a reta tangente ao gráfico de f traçada pelo ponto ( c , f (c) ) é paralela à reta que passa por ( a , f (a) ) e ( b , f (b) ) , isto é:

f^' (c) = (f (b) - f ( a ))/(b - a)

Passo 4

Usando o resultado do teorema do valor médio a nosso favor, segue que existe um número c em ( x_1 , x_2 ) , tal que

f^' (c) = (f (x_2) - f ( x_1 ))/(x_2 - x_1)

Como x_1 > x_2 , então x_2 - x_1 < 0 . Supondo que, f^' (c) > 0 , temos que f (x_2) - f (x_1) < 0 , sendo assim f (x_2) < f (x_1) .

Acabamos de mostrar que f (x_2) < f (x_1) sempre que x_1 > x_2 , então pela definição 4.4.1 do Capítulo 4, seção 4 do livro, f é decrescente.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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