Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.4 - Ex. 41
41. Prove o Teorema 4.4.3 (ii)
Passo 1
Primeiro vamos ver qual é o teorema que ele quer que provemos.
O teorema diz o seguinte:
“Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a,b] e derivável no intervalo aberto (a,b):
- Se para todo x em (a,b), então será crescente em [a,b];
- Se para todo x em (a,b), então será decrescente em [a,b];”
O enunciado quer que provemos o item dois.
Passo 2
Para começar, sejam e dois números quaisquer no intervalo, tais que
Então, é contínua em e derivável em .
Passo 3
Para prosseguirmos precisamos usar o teorema do valor médio, que diz:
Se f é uma função contínua em , e derivável em então existe c pertencente a tal que a reta tangente ao gráfico de traçada pelo ponto é paralela à reta que passa por e , isto é:
Passo 4
Usando o resultado do teorema do valor médio a nosso favor, segue que existe um número em , tal que
Como , então . Supondo que, , temos que , sendo assim .
Acabamos de mostrar que sempre que , então pela definição 4.4.1 do Capítulo 4, seção 4 do livro, é decrescente.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)