(Função arco-co-seno). A função f x = cos ⁡ x , 0 ≤ x ≤ π , é inversível e sua inversa é a função g x = arccos ⁡ x , - 1 < x < 1 .

  1. Calcule arccos ' ⁡ x
  2. Esboce o gráfico de g

Passo 1

  1. Vamos calcular f ' x , vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função trigonométrica:

cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

Assim:

f ' x = cos ⁡ x = - sen ⁡ x

Vamos encontrar a inversa g :

g ' x = 1 f ' g x = 1 - sen ⁡ arccos ⁡ x

Agora vamos fazer uma manipulação através da identidade trigonométrica fundamental:

cos 2 ⁡ arccos ⁡ x + sen 2 ⁡ arccos ⁡ x = 1 → x 2 + sen 2 ⁡ arccos ⁡ x = 1 → sen 2 ⁡ arccos ⁡ x = 1 - x 2 → sen ⁡ arccos ⁡ x = 1 - x 2

Substituindo em g ' x :

g ' x = 1 f ' g x = 1 - sen ⁡ arccos ⁡ x = - 1 1 - x 2

Com - 1 < x < 1 .

Passo 2

  1. Vamos esboçar o gráfico de g atribuindo valores entre - 1 < x < 1 :

Resposta

  1. g ' x = - 1 1 - x 2
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