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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 8.3 - Ex. 1m

Determine a derivada.

f (x) = (e^(- x) arctg e^x)/(tg x)

Passo 1

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra da divisão:

f^' (x) = (g^' (x) h (x) - g (x) h ' (x))/([h (x)]^2)

Onde:

g (x) = e^(- x) arctg e^x

e

h (x) = tg x

Assim temos então que:

((e^(- x) arctg e^x)/(tg x))^' = (g^' (t) h (t) - g (t) h ' (t))/([h (t)]^2) = ((e^(- x) arctg e^x)^' (tg x) - (e^(- x) arctg e^x) (tg x)^')/([tg x]^2)

Passo 2

Vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função trigonométrica, da função exponencial e do polinômio, além da regra da cadeia:

(tg (x))^' = sec^2 (x)

(arctg x)^' = (1)/(1 + x^2)

(e^(f (x)))^' = e^(f (x)) * f ( x ) '

(x^n)^' = n x^(n - 1)

y^' = f^' (g (x)) * g ' (x)

Passo 3

Primeiro vamos calcular g^' (x) , vamos ter que usar a regra do produto:

(r (x) s (x))^' = r^' (x) s (x) + s^' (x) r (x)

Com:

r (x) = e^(- x)

s (x) = arctg e^x

Vamos calcular:

g^' (x) = (e^(- x) arctg e^x)^' = r^' (x) s (x) + s^' (x) r (x) = (e^(- x))^' (arctg e^x) + (arctg e^x)^' (e^(- x)) = e^(- x) (- x)^' (arctg e^x) + (1)/(1 + (e^x)^2) (e^x)^' (e^(- x)) = e^(- x) (- x^(1 - 1)) (arctg e^x) + (1)/(1 + (e^x)^2) (e^x) (e^(- x)) = e^(- x) (- x^0) (arctg e^x) + (1)/(1 + (e^x)^2) (e^(x - x)) = e^(- x) (- 1) (arctg e^x) + (1)/(1 + (e^x)^2) (e^0) = - e^(- x) arctg e^x + (1)/(1 + (e^x)^2) (1) = - e^(- x) arctg e^x + (1)/(1 + e^(2 x))

Agora para h^' (x) :

h^' (x) = (tg x)^' = sec^2 x

Passo 4

Pronto, agora é só substituir na expressão:

f^' (x) = ((e^(- x) arctg e^x)/(tg x))^' = ((e^(- x) arctg e^x)^' (tg x) - (e^(- x) arctg e^x) (tg x)^')/([tg x]^2) = ((- e^(- x) arctg e^x + (1)/(1 + e^(2 x))) (tg x) - e^(- x) arctg e^x sec^2 x)/(tg^2 x)

Resposta

f^' (x) = ((- e^(- x) arctg e^x + (1)/(1 + e^(2 x))) (tg x) - e^(- x) arctg e^x sec^2 x)/(tg^2 x)

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