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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 8.3 - Ex. 4

Seja f x = x + ln ⁡ x , x > 0 .

  1. Mostre que f admite função inversa g , que g é derivável e que g ' x = g x 1 + g x
  2. Esboce os gráficos de f e de g
  3. Calcule g 1 , g ' 1 e g ' ' 1

Passo 1

  1. Vamos calcular f ' x , vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função logarítmica natural e do polinômio, além da regra da cadeia:

    2. ln ⁡ f x ' = 1 f x ⋅ f ( x ) '

    x n ' = n x n - 1

    Assim:

    f ' x = x 1 - 1 + 1 x x 1 - 1 = x 0 + 1 x x 0 = 1 + 1 x ⋅ 1 = 1 + 1 x

    Temos que f ' x > 0 para todo x , logo ela é crescente, assim é uma bijeção de R em R , então podemos ter a inversa g :

    g ' x = 1 f ' g x = 1 1 + 1 g x = 1 g x + 1 g x = g x 1 + g x

    Passo 2

  2. Temos que os gráficos de f e g é da seguinte maneira:

    3. Passo 3

  3. Vamos calcular g ' 1 :

g ' 1 = g 1 1 + g 1

Temos que achar quem é g 1 , vamos a partir da inversa, como temos que:

f 1 = 1 + ln ⁡ 1 = 1 + 0 = 1 → g 1 = 1

Pronto, é só substituir:

g ' 1 = 1 1 + 1 = 1 2

Passo 2

Agora vamos achar g ' ' 1 , para isso temos que achar g ' ' x , aqui vamos usar mais uma regra, a da divisão:

g ' ' x = g x 1 + g x ' = f ' x h x - f x h ' x h x 2 = g x ' 1 + g x - g x 1 + g x ' 1 + g x 2 = g ' x ⋅ 1 + g x - g x 0 + g ' x 1 + g x 2 = g ' x ⋅ 1 + g x - g x g ' x 1 + g x 2

Agora é só aplicar o valor:

g ' ' 1 = g ' 1 ⋅ 1 + g 1 - g 1 g ' 1 1 + g 1 2 = 1 2 ⋅ 1 + 1 - 1 1 2 1 + 1 2 = 1 - 1 2 4   = 1 2 4 = 1 2 ⋅ 1 4 = 1 8

Resposta

b)

c) g 1 = 1 , g ' 1 = 1 2 e g ' ' 1 = 1 8

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Suponha que f tenha derivada contínua no intervalo I e que f ' nunca se anula em I . Prove que f é estritamente crescente em I ou estritamente decrescente em I .
Mostre que, para todo x0 , x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - x 7 7 !sen ⁡ x Mostre que, para todo x ≠ 0 , sen ⁡ x - x - x 3 3 ! + x 5 5 !x 7 7 ! Generalize tal resultado.
Suponha f derivável no intervalo aberto I . Prove que, se f for estritamente crescente em I , então f ' x ≥ 0 para todo x em I .
Seja f uma função tal que f ' ' ' x0 para todo x em a , b . Suponha que existe c em a , b tal que f ' ' c = f ' c = 0 . Prove que f é estritamente crescente em a , b .
Seja f x = 2 x - x 2 + 3 , x ∈ R .Verifique que f ' é contínua em R Verifique que f ' x ≠ 0 em R Tendo em vista que f ' 00 , conclua que f é estritamente crescente.(Sugestão: Veja Exercício 13 .)