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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 8.3 - Ex. 5

Seja f x = x + x 3 .

  1. Mostre que f admite função inversa g
  2. Expresse g ' x em termos de g x
  3. Calcule g ' 0

Passo 1

  1. Vamos calcular f ' x , vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra do polinômio, além da regra da cadeia:

    2. x n ' = n x n - 1

    Assim:

    f ' x = x 1 - 1 + 3 x 3 - 1 = x 0 + 3 x 2 = 1 + 3 x 2

    Temos que f ' x > 0 para todo x , logo ela é crescente, assim é uma bijeção de R em R , então podemos ter a inversa g .

    Passo 2

  2. Vamos encontrar g ' x :

    3. g ' x = 1 f ' g x = 1 1 + 3 g x 2

    Passo 3

  3. Agora vamos calcular g ' 0 :

g ' 0 = 1 1 + 3 g 0 2

Temos que achar quem é g 0 , vamos a partir da inversa, como temos que:

f 0 = 0 + 0 3 = 0 → g 0 = 0

Pronto, é só substituir:

g ' 0 = 1 1 + 3 0 2 = 1

Resposta

b) g ' x = 1 1 + 3 g x 2

c) g ' 0 = 1

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Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o gráfico (para isto, calcule todos os limites necessários). g x = x 2 ln ⁡ x
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