41-44. Use um recurso computacional para encontrar a aproximação pelo ponto médio da integral usando n = 20 subintervalos, e então encontre o valor exato da integral usando a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo.

44. ∫ 1 3 1 x d x

Passo 1

Utilizando um recurso computacional para encontrar a aproximação pelo ponto métio da integral usando n = 20 subintervalos chegamos no seguinte resultado, galera:

∫ 1 3 1 x d x ≈ 1,098242635

Agora temos que encontrar o valor exato da integral utilizando o TFC (Parte 1), que nos diz o seguinte:

“Se f for contínua em a ,   b e F for uma antiderivada de f nesse intervalo então:

∫ a b f x d x = F b - F ( a ) "

Aqui vale ressaltar que F é o resultado da integral (antiderivada de f ), ok? Show!

Passo 2

A princícipio, para a integral que nos foi dada deveríamos utilizar a seguinte regrinha:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1

No entanto, essa regrinha só é válida para n ≠ - 1 . Como temos n = - 1 , o resultado disso já vem pronto pra gente, se liga:

∫ 1 3 1 x d x = ln ⁡ x 3 1

Aplicando o TFC, teremos:

ln ⁡ x 3 1 = ln ⁡ 3 - ln ⁡ 1 = ln ⁡ 3

∴ ∫ 1 3 1 x d x = ln ⁡ 3 ≈ 1,098612289

E está aí nosso resultado, galera! 😉

Resposta

∫ 1 3 1 x d x = ln ⁡ 3 ≈ 1,098612289

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