37-40. Verdadeiro/Falso. Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.

39. Se F x for uma antiderivada de f x e G x for uma antiderivada de g x , então:

∫ a b f x d x = ∫ a b g x d x

Se, e só se:

G a + F b = F a + G b

Passo 1

Então pessoal, para respondermos essa questão devemos lembrar do Teorema Fundamental do Cálculo. Ele nos diz o seguinte:

“Se f for contínua em a ,   b e F for uma antiderivada de f nesse intervalo então:

∫ a b f x d x = F b - F ( a ) "

Aqui vale ressaltar que F é o resultado da integral (antiderivada de f ), ok? Show!

Passo 2

Tendo em vista o TFC, vamos aplicar a ideia nas integrais que nos foram dadas. Para o lado esquerdo, teremos:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

E para o lado esquerdo, teremos:

∫ a b g x d x = G b - G a

Igualando os resultados:

F b - F a = G b - G a

∴ F b + G a = F a + G b

Que é exatamente o resultado cedido pelo enunciado! Sendo assim, podemos concluir que a afirmação é verdadeira.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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