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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 16

Calcule a integral.

int s e n^3 2 x cos^2 2 x d x

Passo 1

Já que o expoente de seno é ímpar, vamos reescrever a integral assim:

int s e n^2 2 x cos^2 2 x s e n 2 x d x

Lembrando que:

s e n^2 2 x = 1 - cos^2 2 x

Substituindo isso na nossa integral:

int ( 1 - cos^2 2 x ) cos^2 2 x s e n 2 x d x = int ( cos^2 2 x - cos^4 2 x ) s e n 2 x d x

Passo 2

Agora a gente pode aplicar a substituição simples:

u = cos 2 x , (d u)/(d x) = - 2 s e n 2 x :. (d u)/(- 2) = s e n 2 x d x

Substituindo na nossa integral:

int ( cos^2 2 x - cos^4 2 x ) s e n 2 x d x = - (1)/(2) int u^2 - u^4 d u =

= - (1)/(2) ((u^3)/(3) - (u^5)/(5))

Voltando para x :

= - (1)/(2) ((cos^3 2 x)/(3) - (cos^5 2 x)/(5)) = - (cos^3 2 x)/(6) + (cos^5 2 x)/(10) + C

Sem esquecer da constante de integração, já que isso não é uma integral definida.

Resposta

- (cos^3 2 x)/(6) + (cos^5 2 x)/(10) + C

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