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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.5 - Ex. 44

44- As placas nas extremidades do cocho mostrado aqui foram projetadas para suportar uma força de fluido de 6667 libras. Quantos pés cúbicos de água o tanque pode conter sem ultrapassar essa limitação? Arredonde para o pé cúbico mais próximo. Qual é o valor de h ?

Passo 1

Como não sabemos os valor de h vamos considerar nossa profundidade igual a:

h - y

No intervalo de 0 até h . E nosso comprimento 2 x igual a:

x = 2 5 y

2 x = 4 5 y

Logo nossa integral fica:

F = ∫ 0 h w h - y 4 5 y   d y  

Passo 2

Com w = 62.4 temos:

F = 62.4 × 4 5 ∫ 0 h h y - y 2 d y

F = 49.92 h y 2 2 - y 3 3 0 h

Aplicando o intervalo temos que nossa força causada pelo líquido em função de h é:

F = 49.92 h 3 2 - h 3 3 = 49.92 6 h 3   = 8.32 h 3

Passo 3

Como a parede aguenta uma força de 6667 libras logo a altura máxima é de:

6667 = 8.32 h 3

h = 9.288   p é s

Agora para descobrir o volume, o volume será o volume do triângulo multiplicado pela sua altura da forma que:

Triângulo:

A base depende da altura, de modo que a altura e a base são diretamente proporcionais tal que:

h b = 10 8 → b = 4 5 h

Área do triângulo:

A = b h 2 = 4 10 h 2 = 2 5 h 2

Volume do prisma:

2 5 h 2 × 30 = 12 h 2

Substituindo o h que encontramos no início desse passo teremos:

V = 12 × 9.288 2 = 1035   p é s 3

Resposta

h = 9.288   p é s

V = 1035   p é s 3

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