45. Ache uma equação de cada uma das retas que passam pelo ponto (4,13), que sejam tangentes à curva y = 2 * x^2 - 1 .

Passo 1

x 0             y 0

Foi nos dado a curva           y = 2 x 2 - 1 .e um ponto P= (4,13)

Inicialmente vamos verificar se esse ponto pertence a curva:

13 = 2 ( 4 ) 2 - 1 .

13 = 2 ⋅ 16 - 1 .

13 ≠ 31

Substituimos as coordenadas do Ponto na equação da curva e a igualdade não foi satisfeita. Então, o ponto não pertence a curva.

Um esboço bem simplificado do que está acotecendo:

O que queriamos é o ponto amarelo, um ponto que está tanto na curva como na reta tangente. Mas o que temos é o ponto azul, que está só na reta tangente. Então, nossa missão inicial é encontrar esse ponto presente tanto na curva como na reta.

Passo 2

Derivando a função:

y = 2 x 2 - 1

m t = y ' = 4 x

Passo 3

Equação da reta tangente:

y - y 0 = m t ( x - x 0 )

Lembrando que esse x 0   e y 0 são as coordenadas do ponto que estão na reta tangente.

Então, substituindo o que temos na equação:

y - 13 = 4 x ( x - 4 )

Lembre o que estamos procurando, um ponto que esteja tanto na reta como na curva, logo, pelo menos um y da curva deve satisfazer a equação da reta:

2 x 2 - 1 - 13 = 4 x ( x - 4 )

2 x 2 - 14 = 4 x 2 - 16 x  

2 x 2 - 16 x + 14 = 0   ( ÷ 2 )

x 2 - 8 x + 7 = 0

Resolvendo por bhaskara, encontraremos duas raízes: x=1 e x=7. Agora sim podemos calcular a inclinação da reta tangente.

Para x=1 ⇒ m t = 4 ⋅ 1 = 4

Para x=7 ⇒ m t = 4 ⋅ 7 = 28

Passo 4

Portanto, as equações da reta tangente serão:

y - 13 = 4 ( x - 4 )

⇒ y = 4 x + 3

E

y - 13 = 28 ( x - 4 )

⇒ y = 28 x - 99

Resposta

y = 4 x + 3

y = 28 x - 99

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