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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.Exercícios Práticos - Ex. 112

Encontre as equações para as retas que sejam tangentes e normais à curva no ponto dado.

e x + y 2 = 2   ,     ( 0 ,   1 )

Passo 1

Para encontrar a equação da reta tangente ( y = a x + b ) precisamos utilizar que o coeficiente angular ( a ) da reta é igual a primeira derivada no ponto dado e em seguida substituímos o ponto dado na equação da reta para obter o valor do coeficiente linear ( b ) . Para encontrar a equação da reta normal utilizamos que o produto do coeficientes angulares de duas retas perpendiculares é igual a - 1 e faremos da mesma forma para encontrar o valor do coeficiente linear.

Passo 2

Para derivar, utilizaremos derivada implícita, pois não é possível isolar y :

e x + y 2 = 2

e x + 2 y y ' = 0

y ' = - e x 2 y

Agora substituímos o ponto dado na equação:

y ' = - 1 2 = m 1

Para encontrar o coeficiente angular da reta normal utilizamos que m 1 . m 2 = - 1 :

- 1 2 . m 2 = - 1

m 2 = 2

Passo 3

Agora devemos montar a equação da reta e substituir o ponto para achar os coeficientes lineares.

Reta tangente: y = - 1 2 x + b

b = 1

Reta normal: y = 2 x + b

b = 1

Resposta

Reta tangente: y = - 1 2 x + 1

Reta normal: y = 2 x + 1

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