Encontre as equações para as retas que sejam tangentes e normais à curva no ponto dado.

y - x 2 = 2 x + 4   ,     ( 6 ,   2 )

Passo 1

Para encontrar a equação da reta tangente ( y = a x + b ) precisamos utilizar que o coeficiente angular ( a ) da reta é igual a primeira derivada no ponto dado e em seguida substituímos o ponto dado na equação da reta para obter o valor do coeficiente linear ( b ) . Para encontrar a equação da reta normal utilizamos que o produto do coeficientes angulares de duas retas perpendiculares é igual a - 1 e faremos da mesma forma para encontrar o valor do coeficiente linear.

Passo 2

Como não é possível isolar o y utilizaremos derivação implícita:

2 y - x y ' - 1 = 2

y ' - 1 = 1 y - x

y ' = 1 + 1 y - x

Agora substituímos o ponto dado na equação:

y ' = 1 + 1 2 - 6

y ' = 3 4

Para encontrar o coeficiente angular da reta normal utilizamos que m 1 . m 2 = - 1 :

3 4 . m 2 = - 1

m 2 = - 4 3

Passo 3

Agora devemos montar a equação da reta e substituir o ponto para achar os coeficientes lineares.

Reta tangente: y = 3 4 x + b

2 = 3 4 . 6 + b

b = - 5 2

Reta normal: y = - 4 3 x + b

2 = - 4 3 . 6 + b

b = 10

Resposta

Reta tangente: y = 3 4 x - 5 2

Reta normal: y = - 4 3 x + 10

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