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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.6 - Ex. 45

45-48. Esboce a regra descrita e encontre sua área.

45. A região abaixo da curva y = x 2 + 1 e acima do intervalo 0 ,   3 .

Passo 1

Então pessoal, inicialmente o que temos que fazer é esboçar a curva em questão, ok? Esboçando a curva que nos foi dada, teremos:

O que queremos calcular aqui é essa região abaixo da curva em vermelho, limitada pelo intervalo 0 ,   3 , que são as retas pontilhadas! Tendo isso em vista, então bora pra cima!

Passo 2

Escrevendo a integral dessa área:

∫ 0 3 x 2 + 1 d x

Simplificando:

∫ 0 3 x 2 d x + ∫ 0 3 1 d x

Para resolvermos essas integrais devemos utilizar a seguinte regrinha:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1

Para a primeira integral, teremos:

∫ 0 3 x 2 d x = x 3 3 3 0

Para a segunda integral, teremos:

∫ 0 3 1 d x = x 3 0

Logo:

∫ 0 3 x 2 + 1 d x = x 3 3 3 0 + x 3 0

Passo 3

Agora que resolvemos nossa integral, basta que apliquemos o Teorema Fundamental do Cálculo (Parte 1) para eliminarmos os intervalos de integração, saca só:

∫ 0 3 x 2 + 1 d x = 27 3 + 3

∫ 0 3 x 2 + 1 d x = 12

∴ A = 12   u . a

E esse é o valor da nossa região! 😉

Resposta

A = 12   u . a

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