49-52. Esboce a curva e encontre a área total entre a curva e o intervalo dado do eixo x .

51. y = e^x - 1; [-1, 1]

Passo 1

Então pessoal, antes de escrevermos a integral que temos que calcular vamos esboçar a curva que nos foi dada, tudo bem? Vale lembrar que a curva tem um intervalo, então é limitada! A curva que nos foi dada é:

y = e x - 1

E o intervalo é: - 1 ,   1 . Esboçando a região:

Note que temos duas áreas: A 1 e A 2 . Sendo assim, teremos as seguintes integrais para resolver:

A 1 = - ∫ - 1 0 e x - 1 d x

A 2 = ∫ 0 1 e x - 1 d x

Logo:

A = A 1 + A 2 = - ∫ - 1 0 e x - 1 d x + ∫ 0 1 e x - 1 d x

Então vamo que vamo!

Passo 2

Vale ressaltar que as integrais que escrevemos possuem o mesmo integrando, então a regrinha para resolver essas integrais será a mesma! Para a função e x temos que a integral é a própria função, logo:

A 1 = - e x - x 0 - 1

A 2 = e x - x 1 0

Sendo assim, nossa área total será:

A = - e x - x 0 - 1 + e x - x 1 0

Agora que resolvemos as integrais, basta que apliquemos o Teorema Fundamental do Cálculo (Parte 1) para eliminarmos os intervalos de integração, saca só:

A = 1 e + e - 2

∴ A = 1 + e 2 e - 2   u . a

E esse é o nosso resultado, galera!

Resposta

A = 1 + e 2 e - 2   u . a

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