Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.5 - Ex. 66
Use o roteiro desta seção para esboçar o gráfico da curva. No passo D, ache uma equação para a assíntota oblíqua.
Passo 1
Opa! Bora resolver essa questão?! O enunciado nos dá uma função:
E aqui vamos seguir o seguinte roteiro para esboçar o gráfico dela.
A. Encontrar o domínio em que a função é definida.
B. Encontrar os interceptos. Que são os pontos onde a função cruza o eixo , isso é:
E o pontos onde a função cruza o eixo , isso é:
C. Verificar se há simetria par, isso é:
Para isso, basta substituir por e verificar se a expressão se mantém a mesma.
D. Procurar por assíntotas horizontais e verticais.
Uma assíntota horizontal é um valor real para o qual a função tende quando tende para infinito:
Já uma assíntota vertical é um valor de no qual a função possui uma descontinuidade e tende para infinito.
Já a assíntota oblíqua, a gente encontra fazendo:
Onde é uma função de primeiro grau.
A gente pode encontrar realizando a divisão de polinômios entre o numerador e o denominador, o quociente da divisão é a assíntota oblíqua.
De forma que:
Onde é o quociente entre as funções e é a assíntota oblíqua.
E. Encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso, basta derivar a função e nos intervalos em que a derivada for positiva a função cresce
E nos intervalos em que a derivada for negativa a função decresce
F. Encontrar os pontos de máximo e mínimo local.
Esses pontos ocorrem quando a derivada vale zero e troca de sinal ou quando a derivada possui uma descontinuidade e troca de sinal.
Caso a derivada fosse negativa e depois do ponto ela é positiva, então a função possui um ponto de mínimo local. Se a derivada era positiva e depois do ponto ela é negativa, então a função possui um ponto de máximo local.
G. Encontrar os intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
A concavidade é para cima se a derivada segunda for positiva
E a concavidade é para baixo se a derivada segunda for negativa
Por fim, um ponto de inflexão é um ponto onde a derivada segunda vale zero e troca de sinal.
H. Esboçar a função juntando as informações obtidas.
E pede pra a gente traçar essa curva, utilizando os guias desta secção do livro. Aqui não tem muito mistério, vamos seguir uma receitinha de bolo!
Além disso a questão também pede pra a gente achar a equação pra assíntota obliqua, mas isso a gente só vai fazer lá na frente!
Passo 2
O primeiro passo (A) é determinar o domínio da função, ou seja, os pontos onde não há problema:
Nesse caso, como para , teríamos uma divisão por zero, então a nossa função não está definida, temos:
Passo 3
Nesse passo (B), temos que encontrar as interseções com os eixos coordenados.
Com o eixo
Com o eixo
Passo 4
O terceiro passo (C) é determinar a simetria, ou seja, se a função é par ou ímpar. No nosso caso, a função não é par e nem ímpar, pois:
Logo, nossa função é sem simetria.
Passo 5
No passo D, nós temos que encontrar as assíntotas.
Como não pertence ao domínio da nossa função, fazemos
Sendo assim, , é uma assíntota vertical.
Para vermos se tem alguma assíntota horizontal temos que fazer o limite da função quando :
Isso acontece, pois o grau do numerador é maior que o do denominador. Portanto, não temos uma assíntota horizontal.
Agora, precisamos achar a assíntota oblíqua.
Dividindo os polinômios temos:
Portanto temos que:
Daí:
Então, a reta é a nossa assíntota oblíqua.
Passo 6
Vamos para o passo E, ou seja, vamos achar os intervalos onde a função é crescente ou decrescente. Para isso precisamos achar os pontos críticos, igualando a primeira derivada a zero. E depois, fazer um estudo de sinal da função.
Igualando a nossa derivada a zero:
Não existe nenhuma raiz rela, pois
Também temos:
Este também é ponto crítico, pois a função não é derivável nesse ponto.
Agora, vamos fazer um quadro de sinais:
Como é sempre menor que zero antes e depois do 2, ela é decrescente nesse intervalo:
Passo 7
O próximo passo é o F.
Aqui, nós temos que achar os máximos e os mínimos relativos, caso existam.
Mas nós já temos essa resposta do passo anterior. N
ós só achamos um ponto crítico que é em , mas a nossa função não muda de sinal em torno desse ponto.
Isso quer dizer que ele não nem máximo nem mínimo relativo. Portanto, não temos nem máximo nem mínimos relativos.
Passo 8
Nesse passo (G), temos que analisar a concavidade da função. Pra isso, temos, primeiro, que achar a segunda derivada e igualá-la a zero, para termos os pontos de inflexão.
Igualando a derivada a zero:
Este é o nosso possível ponto de inflexão, ele só será se o sinal da função for diferente antes e depois desse ponto. Vamos construir uma tabela e fazer uma estudo de sinal para
Como muda de sinal em torno do ponto , este é um ponto de inflexão. Como se , então é côncava para cima em . E, é côncava para baixo em , onde
Passo 9
Juntando todas as informações que obtemos, temos o seguinte gráfico de
Resposta
