Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.5 - Ex. 65
Use o roteiro para esboçar o gráfico da curva. No passo D, ache a equação para assíntota obliqua.
Passo 1
Oieee, tudo bem?
Bora resolver comigo?
Para esboçar o gráfico da curva, podemos seguir este roteiro:
1. Encontre os interceptos com os eixos x e y.
2. Determine os intervalos onde a função é positiva e negativa.
3. Encontre os pontos de inflexão, se houver.
4. Verifique a concavidade da curva.
5. Identifique assíntotas verticais e horizontais, se existirem.
6. Esboce a curva.
Vamos começar:
Intercepto y: Para encontrar o intercepto y, definimos na equação da função:
Portanto, o intercepto y é
Passo 2
Intercepto Para encontrar o intercepto , definimos na equação da função:
Intercepto x: Para encontrar o intercepto x, definimos na equação da função:
Isso ocorre apenas quando
No entanto, nesse caso, o valor não é válido porque resultaria em uma divisão por zero.Portanto, não há intercepto
Passo 3
- Assíntotas verticais: Elas ocorrem onde o denominador se torna zero.
Portanto, a assíntota vertical ocorre em
- Assíntotas horizontais: Não há, porque a função não tende a um valor fixo quando se aproxima do infinito.
- Para isso, podemos encontrar a segunda derivada da função para determinar onde a curva é côncava ou convexa.
Agora, vamos calcular a segunda derivada da função:
Primeiro, encontramos a primeira derivada:
Agora, encontramos a segunda derivada:
Para encontrar onde a curva é côncava para cima ou para baixo, resolvemos
Isso ocorre quando
Portanto, a curva muda de concavidade em
Passo 4
Vamos determinar se a curva é côncava para cima ou para baixo nestes intervalos.
- Para Tomamos um valor (menor que 0) e substituímos na segunda derivada:
Portanto, a curva é côncava para cima no intervalo
- Para Tomamos um valor (entre 0 e 4) e substituímos na segunda derivada:
Isso nos indica que a concavidade muda aqui.
- Para Tomamos um valor (maior que 4) e substituímos na segunda derivada:
Portanto, a curva é côncava para baixo no intervalo
Passo 5
Agora, com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função.
Aqui está o esboço do gráfico da função
- O intercepto
- A assíntota vertical ocorre em
- Não há intercepto
- A função é côncava para cima para muda de concavidade em e é côncava para baixo para
Passo 6
Passo D: Encontrar a equação da assíntota oblíqua
Uma assíntota oblíqua ocorre quando o grau do polinômio no numerador é exatamente um maior do que o grau do polinômio no denominador.
Na função
O grau do polinômio no numerador é e o grau do polinômio no denominador é
Portanto, podemos esperar uma assíntota oblíqua.
Para encontrar a equação da assíntota oblíqua, realizamos a divisão do polinômio do numerador pelo polinômio do denominador.
A equação da assíntota oblíqua é dada pelo quociente da divisão, que é
Então, a equação da assíntota oblíqua é
Resposta
Vide a explicação.