Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.5 - Ex. 67
Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando apropriado. Se houver um método maiselementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
Passo 1
Oieee, vamos resolver mais uma ?
Para resolver este limite
Podemos primeiro tentar avaliá-lo diretamente substituindo na expressão.
No entanto, isso resultaria em uma forma indeterminada que não nos dá uma solução imediata.
Vamos considerar uma abordagem alternativa: vamos tentar manipular a expressão para que possamos aplicar uma propriedade ou uma técnica que nos permita avaliar o limite mais facilmente.
Uma estratégia comum quando lidamos com expressões exponenciais é tomar o logaritmo dela para simplificar.
No entanto, neste caso, o logaritmo natural não pode ser diretamente aplicado, pois estamos elevando a uma potência que tende a
No entanto, podemos usar a seguinte propriedade do logaritmo:
Essa propriedade nos permite transformar o limite de uma função exponencial em um limite que envolve uma função logarítmica, o que pode ser mais fácil de avaliar.
Essa propriedade é conhecida como a "Propriedade da Exponencialização de Limites" ou "Propriedade do Limite Exponencial".
É uma propriedade comummente utilizada quando lidamos com limites de funções exponenciais, permitindo-nos transformar o limite de uma função exponencial em um limite que envolve uma função logarítmica, facilitando assim a sua avaliação.
Passo 2
Primeiramente, vamos verificar se a Regra de l’Hôspital é apropriada.
Analisando o limite dado
vemos que temos uma situação com potência.
Quando isso acontece, podemos reescrever o limite da seguinte forma:
Utilizando as informações do enunciado, podemos chamar
Para que a Regra de l’Hôspital seja apropriada, devemos obter uma forma indeterminada do tipo , ou quando .
Na nossa questão, quando , nós temos que
Logo, nós obtemos a forma , comprovando que a Regra de l’Hôspital é aplicável.
Passo 3
Agora vamos encontrar este limite.
Como já sabemos que a Regra de l’Hôspital é aplicável, vamos utilizá-la para resolver este limite que vai ser sucesso!
Neste método temos que
O limite dado pelo enunciado não apresenta esta forma, porém podemos reescreve-lo de forma que atenda a este requisito.
Pode parecer complicado, mas ao fazer pequenas manipulações algébricas, conseguimos facilitar muito nosso problema.
Vamos dizer que
Passo 4
Como temos um caso com potência, aplicar o logarítimo em ambos os lados costuma ser uma boa ideia. Assim, obtemos
Vamos chamar e .
As derivadas dessas funções são
Passo 5
Substituindo esses valores, obtemos
Ainda não acabamos por aqui!
Até agora nós calculamos o limite de mas na verdade queremos o limite de .
Sabemos que
Logo, temos que
Substituindo esse valor no limite dado pelo enunciado, temos que
Nem foi tão dificil ein ?!
Essa sim é a resposta que estávamos procurando.