Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.6 - Ex. 2
Faça o gráfico de que revelem todos os aspectos importantes da curva. Em particular, você dever usar os gráficos de e para estimar os intervalos de crescimento e decrescimento, valores extremos, intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom, essa questão dá pra gente a função
E pede pra gente fazer seu gráfico de que revele todos os aspectos importantes da curva.
Para isso devemos usar os gráficos de e para estimar os intervalos de crescimento e decrescimento, valores extremos, intervalos de concavidade e pontos de inflexão da função .
Então a ideia aqui é a gente relembrar o que cada uma dessas derivadas pode nos trazer de informações, assim poderemos traçar o gráfico de com todas as características necessárias.
Então vamos lembrar o que cada derivada conta pra gente.
A derivada de uma função é entendida como a inclinação da reta tangente a curva do gráfico da função.
Sabendo disso, podemos pensar que quanto mais positiva a derivada estiver, mais rapidamente a função original estará crescendo.
Assim:
Já a derivada de segunda ordem é a inclinação da reta tangente ao gráfico da primeira derivada e ela nos trará informações sobre o sentido da concavidade.
Assim:
O ponto de inflexão acontece onde a derivada de segunda ordem for igual a zero. Assim:
Agora que já sabemos de tudo isso, bora resolver essa questão.
Passo 2
Podemos começar traçando o gráfico da nossa função em um software como o geogebra.
Na janela de álgebra vamos colocar a função e plotar o gráfico, sendo:
Perceba que é crescente em e decrescente em
Agora vamos destacar suas características usando e .
Passo 3
Como
Sua derivada pode ser calculada usando a regra do expoente em cada um dos termos. Lembrando que
Assim,
E seu gráfico será:
Perceba que o gráfico de toca o eixo em dois pontos distintos, indicando dois pontos críticos da função , já que:
E olhando para o gráfico de , vemos que ela atinge seu valor mínimo em .
E entre e temos um ponto de sela.
Passo 4
Derivando novamente nossa função
encontraremos
Plotando o gráfico de , teremos:
E analisando a concavidade, vemos que é côncava para baixo em e côncava para cima em
Pelo gráfico de , temos dois pontos de inflexão em .
Já que
E assim, as derivadas nos ajudam a ver se o gráfico da nossa função está coerente.
Resposta
