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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.Exercícios Práticos - Ex. 6

Expresse o limite com uma integral definida . Depois, calcule a integral para determinar o valor do limite. P é uma partição do intervalo dado e os números c k são escolhidos dentro dos subintervalos de P.

Passo 1

Antes de iniciar, devemos lembrar qual a cara de um integral definida por somas de Rieman.

Folhando o livro, encontrei essa definição fresquinha (pra tu não precisar ir procurar lá ne migs!) Toma aí:

lim | | P | | → 0 ⁡   ∑ k = 1 n   f c k   Δ x k =   ∫ a b f x d x

Onde P é uma partição de [ a , b ] .

Agora, vamos olhar para o que nos foi dado:

lim | | P | | → 0 ⁡   ∑ k = 1 n c k   c k 2 - 1   - 1 3 Δ x k  

Onde P é uma partição de [ 1,3 ] .

Consegue fazer uma comparação? Então, pelo o que nos foi dado,

lim | | P | | → 0 ⁡   ∑ k = 1 n c k   c k 2 - 1   - 1 3 Δ x k = ∫ 1 3 x x 2 - 1 - 1 3   d x    

Agora é só resolver esse babado. Uma má notícia é que esse cara ai dentro não tem uma primitiva tabelada. Isso significa que vamos para as contas... Mano do céu!

Passo 2

Beleza. Vamos tentar identificar alguma forma de resolver esse babado mais facilmente. Pensando nas contas que já fiz, enxergo que esse cara seria mais resolvível se tivesse somente uma variável elevada a uma potência, que é uma das formas que de resolver integral que a gente já conhece né ? Isso nos dá uma ideia! Vamos fazer uma substituição!

Tome u = x 2 - 1   ⇒ d u = 2 x   d x ⇒ 1   2 d u = x   d x

Vamos modificar nosso limite de integração agora.

x = 1   ⇒ u = 0   e     x = 3 ⇒ u = 8

Então nossa integral fica

∫ 1 3 x x 2 - 1 - 1 3   d x = ∫ 0 8 u - 1 3 x   d x =   ∫ 0 8 u - 1 3 1 2   d u

= 1 2   ∫ 0 8 u - 1 3       d u =   3 8 u 4 3   = 3 8 16 - 0 = 3 2

Resposta

∫ 1 3 x x 2 - 1 - 1 3   d x = 3 2

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