Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.5 - Ex. 39

Encontre a altura e o raio de um cone circular reto com o menor volume que pode circunscrever uma esfera de raio R .

Passo 1

Então pessoal, a fim de facilitar nossa visualização sobre o problema, temos a seguinte situação:

Vamos chamar a altura do cone de h , o raio da esfera de R e o raio do cone de r , tudo jóia? Show! Como sabemos, o volume do cone é:

V = 1 3 π r 2 h

Se utilizarmos semelhança de triângulos, teremos o seguinte:

r h = R h 2 - 2 R h

No qual essa raíz do denominador aparece por conta do teorema de Pitágoras. Se isolarmos r , teremos:

r = R h h 2 - 2 R h

Substituindo na expressão de V :

V = 1 3 π R h h 2 - 2 R h 2 h = 1 3 π R 2 . h 3 h 2 - 2 R h

Agora deixamos a expressão de V em função apenas de h e não mais em função de r e h !

Passo 2

Como o enunciado fala de minimizar o volume, então temos que encontrar os pontos críticos da nossa função, ou seja:

d V d h = 1 3 π R 2 3 h 2 h 2 - 2 R h - h 2 . 2 h - 2 R h 2 - 2 R h 2

Simplificando, teremos:

d V d h = 1 3 π R 2 h h - 4 R h - 2 R 2

Igualando nossa derivada a zero:

1 3 π R 2 h h - 4 R h - 2 R 2 = 0

h h - 4 R = 0

As únicas formas disso dar zero são se:

h = 0

Ou:

h - 4 R = 0

h = 4 R   u . c

Como h não pode ser zero, então temos que nosso resultado é h = 4 R !

Passo 3

Agora que encontramos h , para descobrirmos r é tranquilo, pois basta utilizarmos a expressão que encontramos no passo 1, se liga:

r = R h h 2 - 2 R h

Para h = 4 R temos que r será:

r = R . 4 R 16 R 2 - 2 R . 4 R

r = 4 R 2 R 8

∴ r = 4 R 8   u . c

E está aí nossa resolução, pessoal! 😊

Resposta

h = 4 R   u . c

r = 4 R 8   u . c

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Seja f x = a x 2 + b x + c , onde a0 . Prove que f x ≥ 0 em cada x se, e somente se, b 2 - 4 a c ≤ 0 . [Sugestão: Encontre o mínimo de f x .]
A figura a seguir mostra a trajetória de uma mosca cujas equações do movimento são x = cos ⁡ t 2 + s e n t ,y = 3 + s e n 2 t - 2 s e n 2 t ,0 ≤ t ≤ 2 π a Quais são os pontos mais alto e mais baixo do
Explique a diferença entre um máximo relativo e um absoluto. Esboce um gráfico que exiba uma função com um máximo relativo que não é absoluto e exiba um outro gráficocom um máximo absoluto que não é r
Se uma quantidade física desconhecida é medida n vezes, as medidas x 1 ,x 2 , … , x n muitas vezes variam, dependendo de fatores incontroláveis, como temperatura, pressão atmosférica, etc. Assim, um c
Texto. Discuta a importância de encontrar, em problemas de máximos e mínimos aplicados, os intervalos de valores possíveis impostos nas variáveis por restrições físicas.