Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.5 - Ex. 35
Encontre a altura e o raio de um cone com altura inclinada cujo volume é o maior possível.
Passo 1
Então pessoal, vamos chamar a altura do cone de , o raio de e a altura inclinada de , assim como o enunciado propõe mesmo, tudo jóia? Show! O volume de um cone desse tipo é:
Para facilitar nossa visualização, temos o seguinte:
E do triângulo retângulo formando por , e temos:
Isolando , teremos:
Substituindo na expressão do volume:
Show! Como e são nossas variáveis, então tivemos que realizar essas substituição para eliminar uma das variáveis, ok? Então vamos continuar!
Passo 2
Como queremos o volume máximo, então vamos utilizar os conceitos do cálculo e derivar essa nossa função aí, saca só:
Igualando a zero:
A única forma disso dar zero é se:
Aqui vale ressaltar que não pegamos a raíz negativa porque não trabalhamos com coordenadas negativas na geometria, pois não faria muito sentido, não é mesmo?
Passo 3
Agora que encontramos , para encontrarmos é de boas, basta substituirmos na nossa expressão de do passo 1, se liga:
E esses são os valores de e para que o cone tenha volume máximo! 😊