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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.3 - Ex. 74

  1. Calcule ∫ x x 2 + 1 d x .
  2. Use um recurso gráfico para gerar algumas curvas integrais típicas de f x = x x 2 + 1   sobre o intervalo - 5,5 .

Passo 1

  1. Vamos calcular a integral pedida:

∫ x x 2 + 1 d x

Aqui a gente vai jogar uma substituição assim:

u = x 2 + 1

d u = 2 x   d x → d u 2 = x   d x

Aí fica:

1 2 ∫ d u u

Integrando fica:

1 2 ln ⁡ u + C

A gente volta pra x :

1 2 ln ⁡ ( x 2 + 1 ) + C

E foi!

Passo 2

Curvas integrais são os gráficos do resultado da integral. Veja que 1 2 ln ⁡ x 2 + 1 + C

gera uma família de curvas, conforme vai variando o C . Vamos fazer algumas então no intervalo pedido:

Resposta

  1. 1 2 ln ⁡ x 2 + 1 + C
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Calculeint (2 t g x)/(2 + 3 cos x) d x
g)int c o s s e c^n (x) d x = - (c o s s e c^(n - 2) (x) * c o t g (x))/(n - 1) + (n - 2)/(n - 1) * int c o s s e c^(n - 2) (x) d x , n = 2
Calculeint c o t g^(n (x) d x) = - (c o t g^(n - 1) x)/(n - 1) - int c o t g^(n - 2) x d x