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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.3 - Ex. 74

  1. Calcule ∫ x x 2 + 1 d x .
  2. Use um recurso gráfico para gerar algumas curvas integrais típicas de f x = x x 2 + 1   sobre o intervalo - 5,5 .

Passo 1

  1. Vamos calcular a integral pedida:

∫ x x 2 + 1 d x

Aqui a gente vai jogar uma substituição assim:

u = x 2 + 1

d u = 2 x   d x → d u 2 = x   d x

Aí fica:

1 2 ∫ d u u

Integrando fica:

1 2 ln ⁡ u + C

A gente volta pra x :

1 2 ln ⁡ ( x 2 + 1 ) + C

E foi!

Passo 2

Curvas integrais são os gráficos do resultado da integral. Veja que 1 2 ln ⁡ x 2 + 1 + C

gera uma família de curvas, conforme vai variando o C . Vamos fazer algumas então no intervalo pedido:

Resposta

  1. 1 2 ln ⁡ x 2 + 1 + C
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Calcule ∫ c o t g n x d x = - c o t g n - 1 x n - 1 - ∫ c o t g n - 2 x d x