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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.9 - Ex. 4

Calcular a integral indefinida.

int (d x)/(4 + 5 cos x)

Passo 1

Vamos lá, aqui a gente tem uma função racional de seno e cosseno.

O próprio livro dá o macete pra resolver esse tipo de integral. A gente usa a substituição:

t = t g (x)/(2)

E com isso a gente tem que:

s e n x = (2 t)/(1 + t^2) ; cos x = (1 - t^2)/(1 + t^2) e d x = (2 d t)/(1 + t^2)

Vamos lá então...

Passo 2

Substituindo, fica assim:

int ((2 d t)/(1 + t^2))/(4 + (5 (1 - t^2))/(1 + t^2))

= int ((2 d t)/(1 + t^2))/((4 + 4 t^2 + 5 - 5 t^2)/(1 + t^2))

= int (2 d t)/(9 - t^2)

Agora tá mais bonitinho...

Passo 3

A gente integra e fica:

= 2 * (1)/(2 * 3) ln (|t + 3|)/(|t - 3|) + C

= (1)/(3) ln |(t + 3)/(t - 3)| + C

Isso! Agora a gente volta pra variável x :

= (1)/(3) ln |(t g ((x)/(2)) + 3)/(t g ((x)/(2)) - 3)| + C

Prontinho😉

Resposta

(1)/(3) ln |(t g ((x)/(2)) + 3)/(t g ((x)/(2)) - 3)| + C

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