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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.5 - Ex. 10

Use um CAS para encontrar a área exata da superfície gerada quando a curva dada gira em torno do eixo dado. E i x o   x em 1 ≤ x ≤ 2 .

f x = x 3 3 - x - 1 4

Passo 1

A área da superfície de uma curva pode sere obtida utilizando uma fórmula geral:

S = 2 π ∫ a b f x 1 + f ' x 2 d x

Sabendo que :

f x = x 3 3 - x - 1 4

f ' x = x 2 - 1 4 x 2

Aplicando na fórmula da superfície, temos:

S = 2 π ∫ 1 2 x 3 3 - x - 1 4 1 + x 2 - 1 4 x 2 2 d x

Reorganizando temos:

S = 2 π ∫ 1 2 x 3 3 - x - 1 4 ( 2 x 2 + 2 x + 1 ) ( 2 x 2 - 2 x + 1 ) 4 x 2 d x

S = 2 π ∫ 1 2 x 3 3 - x - 1 4 x 2 - 1 4 x 2 d x

S = 2 π ∫ 1 2 16 x 8 + 16 x 4 + 3 48 x 3 d x

S = 2 π ∫ 1 2 16 x 8 48 x 3 + 16 x 4 48 x 3 + 3 48 x 3 d x

S = 2 π ∫ 1 2 x 5 3 + x 3 + 1 16 x 3 d x

S = 2 π x 6 18 + x 2 6 - 1 32 x 2 1 2

S = 2 π 515 128

S = 515 π 64

Resposta

S = 515 π 64

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