Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.7 - Ex. 7
5-20 Encontre as derivadas primeiras e segunda da função.
7.
Passo 1
Fala aí, tudo belezinha com você?
Bom, essa questão pede pra gente encontrar as derivadas de primeira e de segunda ordem da função:
Isso significa que teremos que derivar nossa função a primeira vez, anotar o resultado que encontarmos e derivar esse resultado novamente para obter a derivada de segunda ordem. Sacou?!
E para isso precisaremos observar o tipo de função que temos e decidir qual o melhor método para fazer isso.
Aqui temos uma função dentro da outra, então precismos da regra da cadeia:
Quando temos uma função dessa forma:
Sua derivada fica assim:
Ou seja, a derivada da função de fora, vezes a derivada da função de dentro.
Maravilha. Agora que já sabemos o que fazer, partiu resolver mais uma questão.
Passo 2
Vamos usar a regra da cadeia aqui. Sendo
Sua derivada fica assim:
Nesse caso nosso é o cosseno e é o .
A derivada do cosseno é tabelada e ela é igual a . Assim, teremos:
Ajeitando melhor, podemos escrever assim:
Maravilha. Temos nossa derivada de primeira ordem.
Passo 3
E para achar a derivada segunda é só derivar mais uma vez a função, da mesma maneira que fizemos anteriormente:
Podemos colocar o do lado de fora da derivada, já que ele é uma constante.
Para fazer a derivada do seno, precisamos da regra da cadeia novamente. E a derivada do é . Assim:
Arrumando melhor, temos:
E prontinho. Questão resolvida.