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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.9 - Ex. 52

52-

Deduza a fórmula:

d y d x = 1 x 2 + 1

Para a derivada de y = t g - 1 x derivando os dois lados da equação equivalente t g   y = x

Passo 1

Derivando os dois lados da equação por x   d d x nós temos:

d y d x × d d y t g   y = 1

Onde precisamos derivar a função tangente e depois derivar em x a função y

Passo 2

A derivada da tangente é:

d d y t g   y = d d y sin ⁡ y cos ⁡ y = sin ⁡ y   ' cos ⁡ y - ( sin ⁡ y   ) ( cos ⁡ y ) ' cos 2 ⁡ y = 1 cos 2 ⁡ y = sec 2 ⁡ y

Substituindo na equação diferencial nós temos:

d y d x × sec 2 ⁡ y = 1

d y d x = 1 sec 2 ⁡ y

Passo 3

Como a questão nos fornece o valor da tangente e não da secante vamos ter que usar a relação fundamental da trigonometria para fazer substituição:

sin 2 ⁡ y + cos 2 ⁡ y = 1

Dividindo por cos 2 ⁡ y a equação acima temos:

t g 2 y + 1 = sec 2 ⁡ y

Substituindo então sec 2 ⁡ y temos:

d y d x = 1 1 + t g 2 y

Como t g   y = x

d y d x = 1 1 + x 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Ache (d y)/(d x) sen^(- 1) (x y) = cos^(- 1) (x + y)
Encontre a derivada da função dada:f (x) = 4 sen^(- 1) (1)/(2) x + x sqrt(4 - x^2)
Ache (d y)/(d x) ln (sen^2 3 x) = e^x + cotg^(- 1) y
Use triângulos de referência como no exemplo 1 para determinar os ângulos nos exercícios abaixo:a) tan - 1 ⁡ - 1
Use triângulos de referência como no exemplo 1 para determinar os ângulos nos exercícios abaixo:b) cos - 1⁡ 1 / 2