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Deduza a fórmula:

dy/dx = 1 / (x^2 + 1)

Para a derivada de y = t * g^(-1) * x derivando os dois lados da equação equivalente tg(y) = x

Passo 1

Derivando os dois lados da equação por x   d d x nós temos:

d y d x × d d y t g   y = 1

Onde precisamos derivar a função tangente e depois derivar em x a função y

Passo 2

A derivada da tangente é:

d d y t g   y = d d y sin ⁡ y cos ⁡ y = sin ⁡ y   ' cos ⁡ y - ( sin ⁡ y   ) ( cos ⁡ y ) ' cos 2 ⁡ y = 1 cos 2 ⁡ y = sec 2 ⁡ y

Substituindo na equação diferencial nós temos:

d y d x × sec 2 ⁡ y = 1

d y d x = 1 sec 2 ⁡ y

Passo 3

Como a questão nos fornece o valor da tangente e não da secante vamos ter que usar a relação fundamental da trigonometria para fazer substituição:

sin 2 ⁡ y + cos 2 ⁡ y = 1

Dividindo por cos 2 ⁡ y a equação acima temos:

t g 2 y + 1 = sec 2 ⁡ y

Substituindo então sec 2 ⁡ y temos:

d y d x = 1 1 + t g 2 y

Como t g   y = x

d y d x = 1 1 + x 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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