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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.2 - Ex. 30

Ache (d y)/(d x)

sen^(- 1) (x y) = cos^(- 1) (x + y)

Passo 1

Para acharmos essa derivada, temos que derivar cada lado da equação que ele deu no enunciado. E fazere a derivada implícita, lembrando que:

y = y (x)

Então quando derivarmos y , temos que colocar = y^' junto. Porque é a regra da cadeia.

Começando com sen^(- 1) (x y) , Temos que usar a regra da caideia aqui:

f (x) = sen^(- 1) (x y)

Assim:

f (x) = h (g (x))

Com

h (x) = sen^(- 1) x

g (x) = x y

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

f^' (x) = h^' (g (x)) g^' (x)

Temos

g^' (x) = (1)/(sqrt(1 - x^2))

Que é a derivada de sen^(- 1)

Então

f^' (x) = (1)/(sqrt(1 - (g (x))^2)) g^' (x)

Passo 2

Vamos achar a derivada de g (x) , vamos usar a regra do produto:

g (x) = x y -> g^' (x) = (x)^' y + y^' x = y + x y^'

Vamos ter

f^' (x) = (1)/(sqrt(1 - (x y)^2)) (y + x y^')

Passo 3

Vamos para o outro lado, Temos que usar a regra da caideia aqui:

A (x) = cos^(- 1) (x + y)

Assim:

A (x) = m (n (x))

Com

m (x) = cos^(- 1) x

n (x) = x + y

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

A^' (x) = m^' (n (x)) n^' (x)

Temos

m^' (x) = - (1)/(sqrt(1 - x^2))

Que é a derivada de sen^(- 1)

Então

A^' (x) = - (1)/(sqrt(1 - (n (x))^2)) n^' (x)

Passo 4

Vamos achar a derivada de n (x) , vamos usar a regra do produto:

n (x) = x + y -> n^' (x) = (x)^' + y^' = 1 + y^'

Vamos ter

A^' (x) = - (1)/(sqrt(1 - (x + y)^2)) (1 + y^')

Passo 5

Dessa forma vamos ter, na nossa equação:

(1)/(sqrt(1 - (x y)^2)) (y + x y^') = - (1)/(sqrt(1 - (x + y)^2)) (1 + y^')

Vamos isolar o y^'

(y)/(sqrt(1 - (x y)^2)) + y^' (x)/(sqrt(1 - (x y)^2)) = - (1)/(sqrt(1 - (x + y)^2)) - y^' (1)/(sqrt(1 - (x + y)^2))

y^' (x)/(sqrt(1 - (x y)^2)) + y^' (1)/(sqrt(1 - (x + y)^2)) = - (1)/(sqrt(1 - (x + y)^2)) - (y)/(sqrt(1 - (x y)^2))

y^' (x)/(sqrt(1 - (x y)^2)) + y^' (1)/(sqrt(1 - (x + y)^2)) = - (1)/(sqrt(1 - (x + y)^2)) - (y)/(sqrt(1 - (x y)^2))

y^' ((x)/(sqrt(1 - (x y)^2)) + (1)/(sqrt(1 - (x + y)^2))) = - (1)/(sqrt(1 - (x + y)^2)) - (y)/(sqrt(1 - (x y)^2))

y^' ((x sqrt(1 - (x + y)^2) + sqrt(1 - (x y)^2))/(sqrt(1 - (x + y)^2) sqrt(1 - (x y)^2))) = (- sqrt(1 - (x y)^2) - y sqrt(1 - (x + y)^2))/(sqrt(1 - (x y)^2) sqrt(1 - (x + y)^2))

Simplificando os denominadores:

y^' (x sqrt(1 - (x + y)^2) + sqrt(1 - (x y)^2)) = - sqrt(1 - (x y)^2) - y sqrt(1 - (x + y)^2)

Vamos passar o monstro dividindo para o outro lado.

y^' = (- sqrt(1 - (x y)^2) - y sqrt(1 - (x + y)^2))/(x sqrt(1 - (x + y)^2) + sqrt(1 - (x y)^2))

Resposta

y^' = (- sqrt(1 - (x y)^2) - y sqrt(1 - (x + y)^2))/(x sqrt(1 - (x + y)^2) + sqrt(1 - (x y)^2))

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