52-Um corredor é cronometrado percorrendo 100 metros em 10 segundos. O cronômetro é zerado e o corredor volta calmamente para o início da pista. Mostre que existe pelo menos um ponto na pista no qual a leitura do cronômetro coincide com a leitura durante a volta ao início. [Sugestão : Use o resultado de Exercício 44.]

Passo 1

Galera, vamos pensar em uma função:

f x = 0 ,   100 → R

que, para cada x (distância percorrida) associa o tempo que o cara correu.

Assim,

f 0 = 0   e f 100 = 10 , certo ?

Passo 2

Agora, imagina outra função:

g x = 0 ,   100 →   R

do tempo de volta.

Assim,

g 100 = 0 (na posição 100 m, final da pista de corrida, o cronômetro da volta marca 0 segundos) e g 0 = t , onde t é o tempo que ele levou para voltar. Obviamente, t > 10 .

Galerisss, percebam que f   e g são contínuas, a não ser que o sujeito possa se teletransportar ou viajar no tempo.

Passo 3

Definindo h x = f x - g ( x ) . A função h será contínua com h 0 = - t e h 100 = 10 .

Pelo TVI, existe x 0 tal que h x 0 = 0 , logo:

f x 0 - g x 0 = 0

Portanto,

f x 0 = g x 0

Resposta

Demonstração acima.

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