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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 55

51-60 Dê um gráfico de polinômio e identifique as coordenadas dos cortes com os eixos, dos pontos estacionários e dos pontos de inflexão. Confira as respostas com um recurso gráfico.

55- p x = x + 1 2 ( 2 x - x 2 )

Passo 1

Galera, vamos começar derivando a função:

p ´ x =   2 x + 1 2 x - x 2 + x + 1 2 ( 2 - 2 x )

Agora, vamos derivar novamente:

p ´ ´ x = 2 2 x - x 2 +   2 x + 1 2 - 2 x + 2 x + 1 2 - 2 x - 2 x + 1 2

p ´ ´ x = - 12 x 2 + 6

Passo 2

Igualando a primeira derivada a zero, temos:

p ´ x = 0

x + 1 [ 2 2 x - x 2 + x + 1 2 - 2 x ] = 0

x + 1 = 0

x = - 1

E

- 4 x 2 + 4 x + 2 = 0

x 1 = 1 + 3 2   e   x 2 = 1 - 3 2  

Para x = - 1 :

p - 1 = 0

Para x = 1 + 3 2 :

p 1 + 3 2 = 9 + 6 3 4

Para x = 1 - 3 2 :

p 1 - 3 2 = 9 - 6 3 4

  ( - 1,0 ) , 1 + 3 2 , 9 + 6 3 4 ,   1 - 3 2 ,   9 - 6 3 4 são nossos pontos estacionários.

O próximo passo é saber se f ´ ´ x 0 > 0 , f ´ ´ x 0 < 0 ou f ´ ´ x 0 = 0 . Isso que vai determinar qual tipo de extremos relativo nós encontramos.

Passo 3

Para x = - 1 :

p ´ ´ - 1 = 6

Como p ´ ´ - 1 < 0 , para x = - 1 , temos um ponto de máximo.

Para x = 1 + 3 2 :

p ´ ´ 1 + 3 2 = - 16,4

Como p ´ ´ 1 + 3 2 < 0 , para x = 1 + 3 2 , temos um ponto de máximo.

Para x = 1 - 3 2 :

p ´ ´ 1 - 3 2 = 4,40

Vamos ver se temos algum ponto de inflexão... Para isso nós temos que fazer um estudo de sinais com a função p ´ ´ ( x ) . Então vamos lá!

p ´ ´ x = - 12 x 2 + 6

p ´ ´ x = 0

- 12 x 2 + 6 = 0

x 2 = 1 2

x = ± 1 2

Agora, temos que ver como essa função se comporta ao redor desses pontos e, a melhor forma de fazer isso é montando um quadro de sinais.

Galerissss, vocês perceberam como os sinais variam entre os intervalos ??? Isso quer dizer que esses são pontos de inflexão. Quando p ´ ´ ( x ) tem um comportamento à esquerda do ponto de interesse e tem outro à sua direita, quer dizer que esse é um ponto de inflexão, lembrou ???

Para x = - 1 2 :

p - 1 2 = 5 4 - 2

Para x = 1 2 :

p 1 2 = 5 4 + 2

Assim,

- 1 2 , 5 4 - 2 ,   1 2 , 5 4 + 2 são nossos pontos de inflexão.

Passo 4

Por último, temos que ver os cortes com os eixos.

- Eixo x :

x + 1 2 ( 2 x - x 2 ) = 0

x + 1 = 0  

x = - 1

e

2 x - x 2 =   0

x 2 - x = 0

x = 0

x = 2

Os cortes com eixo x são nos pontos:

- 1,0 ,   0,0 ,   ( 2,0 )

- Eixo y :

p 0 = 0

Os cortes com eixo y são nos pontos:

( 0,0 )

Assim, nós temos o seguinte gráfico:

Resposta

  ( - 1,0 ) ( m í n i m o ) , 1 + 3 2 , 9 + 6 3 4 ( m í n i m o ) ,   ( 1 - 3 2 ,   9 - 6 3 4 ) ( m á x i m o ) são nossos pontos estacionários.

- 1 2 , 5 4 - 2 ,   1 2 , 5 4 + 2 são nossos pontos de inflexão.

Cortes nos eixos: - 1,0 , 0,0   e   ( 2,0 )

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