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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 0.5 - Ex. 53

53. A altura percebida β de uma som em decibéis ( d B )   está relacionado com sua intensidade I em watts/metro quadrado ( W / m ² ) pela equação

β = 10 log ⁡ ( I / I 0 )

Onde I 0 = 10 - 12 W / m ² . Os danos ao ouvido médio ocorrem a 90 d B ou mais. Encontre o nivel de decibéis de cada um dos seguintes sons e estabeleça se causara dano a audição.

Passo 1

Beleuza meus amores, o enunciado deu pra gente que o nivel de decibéis de um som pode ser medido pela seguinte fórmula:

β = 10 log ⁡ ( I / I 0 )

Onde I 0 = 10 - 12 W / m ² . E ele quer que encontremos esse nivel de decibéis para determinados sons em específicos dados na tabela:

E como a gente é malandro, bora jogar esses valores na fórmula e ver como que fica. Bora lá!

Passo 2

Saca só, na letra (a), ele diz que a intensidade de um som que um Avião a jato faz é dado por:

A v i ã o   a   j a t o = 1,0 × 10 2 W / m ²

E colocando na fórmula dos decibéis temos que:

β = 10 log ⁡ ( I / I 0 )

β = 10 log ⁡ 1,0 × 10 2 10 - 12

Logo:

β = 10 log ⁡ 10 2 10 - 12 = 10 log ⁡ 10 2 - - 12 = 10 log ⁡ 10 14

E passando aquele expoente multiplicando, temos que:

β = 14 × 10 log ⁡ 10

Como log ⁡ 10 = 1 , ficamos assim:

β = 14 × 10 = 140

Logo, o nivel de decibéis é β > 90 , portanto o Avião a jato causa danos.

Passo 3

Show de bolinhas, agora na letra (b) temos que a Música de rock amplificada tem um nivel dado como:

M ú s i c a   d e   r o c k = 1,0   W / m ²

E colocando na fórmula dos decibéis temos que:

β = 10 log ⁡ ( I / I 0 )

β = 10 log ⁡ 1,0 10 - 12

Logo:

β = 10 log ⁡ 10 12

E passando aquele expoente multiplicando, temos que:

β = 1 2 × 10 log ⁡ 10

Como log ⁡ 10 = 1 , ficamos assim:

β = 1 2 × 10 = 1 2 0

Logo, o nivel de decibéis é β > 90 , portanto a Musica de rock amplificada também causa danos.

Passo 4

Iradoso galerinha, vamos fazer mais ou menos a mesma coisa para o Liquidificador, ele possui uma intensidade:

L i q u i d i f i c a d o r = 1,0 × 10 - 4   W / m ²

E colocando na fórmula dos decibéis temos que:

β = 10 log ⁡ ( I / I 0 )

β = 10 log ⁡ 1,0 × 10 - 4 10 - 12

Logo:

β = 10 log ⁡ 10 - 4 10 - 12 = 10 log ⁡ 10 - 4 - - 12 = 10 log ⁡ 10 8

E passando aquele expoente multiplicando, temos que:

β = 8 × 10 log ⁡ 10

Como log ⁡ 10 = 1 , ficamos assim:

β = 8 × 10 = 8 0

Logo, o nivel de decibéis é β < 90 , portanto o Liquidificador não causa danos a audição.

Passo 5

Tranquilovski então galera, agora para a TV temos que:

T V = 3,2 × 10 - 5   W / m ²

E colocando na fórmula dos decibéis temos que:

β = 10 log ⁡ ( I / I 0 )

β = 10 log ⁡ 3,2 × 10 - 5 10 - 12

Logo:

β = 10 log ⁡ 3,2 10 - 5 10 - 12 = 10 log ⁡ 3,2 × 10 - 5 - - 12 = 10 log ⁡ 3,2 × 10 7

E agora usando a propriedade da soma entre logaritmos, temos que:

β = 10 log ⁡ 3,2 × 10 7 = 10 log ⁡ 3,2 + log ⁡ 10 7

E passando aquele expoente multiplicando, temos que:

β = 10 log ⁡ 3,2 + 7 log ⁡ 10

Como log ⁡ 10 = 1 , ficamos assim:

β = 10 log ⁡ 3,2 + 7 = 75

Logo, o nivel de decibéis é β < 90 , portanto a TV também não causa danos a audição.

Resposta

  1. 140   d B , causa dano.
  2. 120   d B , causa dano.
  3. 80   d B , não causa dano.
  4. 75   d B , não causa dano.
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