53-Use a regra da derivada do Teorema 3 da Seção 3.8 para deduzir d d x sec - 1 ⁡ x = 1 x x 2 - 1 , x1

Enunciado

O teorema 3 basicamente nos diz que se temos um função e sua derivada é ,logo a sua função inversa que é terá derivada

Como queremos a derivada de , logo para aplicar o teorema vamos fazer a derivada em relação a x de

Fazendo a derivada da secante nós temos:

Substituindo na equação diferencial e dividindo no outro lado, nós temos:

Como temos o valor da e não da , precisamos utilizar a relação fundamental da trigonometria para substituir o valor da na equação :

Dividindo por a equação de cima nós teremos:

Isolando nós teremos:

Substituindo na derivada da secante

Tirando a ambiguidade:

Como queremos a derivada da inversa da secante e não da secante então nós temos:

Onde temos que aplicar a função inversa no lugar de x.

Como:

Para não termos esse ambiguidade nós colocamos o módulo na parcela do denominador que pode representar a mudança de sinal:

Ei, a resposta está no passo a passo :)