Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.9 - Ex. 53
53-
Use a regra da derivada do Teorema 3 da Seção 3.8 para deduzir
Passo 1
O teorema 3 basicamente nos diz que se temos um função e sua derivada é ,logo a sua função inversa que é terá derivada
Como queremos a derivada de , logo para aplicar o teorema vamos fazer a derivada em relação a x de
Passo 2
Fazendo a derivada da secante nós temos:
Substituindo na equação diferencial e dividindo no outro lado, nós temos:
Passo 3
Como temos o valor da e não da , precisamos utilizar a relação fundamental da trigonometria para substituir o valor da na equação :
Dividindo por a equação de cima nós teremos:
Isolando nós teremos:
Substituindo na derivada da secante
Tirando a ambiguidade:
Como queremos a derivada da inversa da secante e não da secante então nós temos:
Onde temos que aplicar a função inversa no lugar de x.
Como:
Para não termos esse ambiguidade nós colocamos o módulo na parcela do denominador que pode representar a mudança de sinal:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)