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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 1.6 - Ex. 53

53-Encontre underset(x -> 1)(lim) (s e n pi x)/(x - 1)

Passo 1

Você pode estar se perguntando como eu começo a resolver esse limite???

Eu já posso adiantar que a melhor maneira, talvez seja fazendo um substituição. Como assim ?

Olha só...

Se:

x - 1 = t

E, consequentemente:

x = t + 1

Então, o nosso t vai tender a zero. Okk ?

Substituindo isso no limite, temos:

underset(t -> 0)(lim) (s e n pi ( t + 1 ))/(t) = underset(t -> 0)(lim) (s e n ( pi t + pi ))/(t)

Você pode estar pensando... Caracaa antes eu tinha um limite ruim, mas agora parece que a situação piorou.

Realmente, parece que o limite está mais feio, mas pelo menos agora a gente consegue resolver. Só vem comigo !!!

Passo 2

Lembra daquela musiquinha do seno que você com certeza já ouviu o seu professor de matemática cantando ??? Então... acho que talvez você precise dela pra lembrar isso aqui:

s e n (a + b) = s e n a c o s b + s e n b c o s a

Assim,

underset(t -> 0)(lim) (s e n pi t xx c o s pi + s e n pi xx c o s pi t)/(t) = underset(t -> 0)(lim) (s e n pi t xx c o s pi)/(t) + underset(t -> 0)(lim) (s e n pi xx c o s pi t)/(t)

Resolvendo o primeiro limite:

underset(t -> 0)(lim) (s e n pi t xx c o s pi)/(t) = underset(t -> 0)(lim) (s e n pi t)/(t) xx underset(t -> 0)(l i m) c o s pi

Pelo limite fundamental trigonométrico:

underset(t -> 0)(lim pi) (s e n pi t)/(pi t) = 1 xx pi = pi

Assim,

underset(t -> 0)(lim) (s e n pi t xx c o s pi)/(t) = pi xx - 1 = - pi

Resolvendo o segundo limite:

underset(t -> 0)(lim) (s e n pi xx c o s pi t)/(t) = underset(t -> 0)(lim) (0 xx c o s pi t)/(t) = 0

Passo 3

Assim,

underset(t -> 0)(lim) (s e n ( pi t + pi ))/(t) = - pi + 0 = - pi

Resposta

- pi

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