9-14 Determine onde f é contínua.

13- f(x) = arcsen(1/x) / x

Passo 1

Como a função arco seno é a inversa do seno, a imagem desta última será o domínio da primeira. Assim, devemos ter:

(1)/(x) ϵ [ - 1,1 ]

Isto é,

- 1 <= (1)/(x) <= 1

- 1 <= (1)/(x)

(1)/(x) + 1 >= 0

(x + 1)/(x) >= 0

Galera, o único jeito de resolver isso é estudando o sinal dessa fração.

Igualando nosso numerador a zero, temos:

x + 1 = 0

x = - 1

E, igualando nosso denominador a zero, temos:

x = 0

Agora, vamos fazer aquele quadro de sinais maroto com os seguintes intervalos:

x <= - 1 , - 1 <= x < 0 , x > 0

Logo, o intervalo que nós queremos é esse: (- oo , - 1] U ( 0 , + oo )

Acabou ???? Só que não !!!

Ainda temos isso aqui:

1 <= (1)/(x)

(1)/(x) - 1 <= 0

(1 - x)/(x) <= 0

Galera, o único jeito de resolver isso é estudando o sinal dessa fração.

Igualando o nosso numerador a zero, temos:

1 - x = 0

x = 1

Igualando o nosso denominador a zero, temos:

x = 0

Agora, vamos fazer aquele quadro de sinais maroto com os seguintes intervalos:

x < 0 , 0 < x <= 1 , x >= 1

Logo, o intervalo que nós queremos é esse: (- oo , 0) U ( 1 , + oo )

Fazendo a intercessão dos dois intervalos:

(- oo , - 1] U ( 0 , + oo )

(- oo , 0) U ( 1 , + oo )

Temos que a função é contínua nesse intervalo:

x ϵ (- oo , - 1] U [ 1 , + oo )

Agora , você pode respirar aliviado porque finalmente acabou!!!

Até a próxima !!!

Resposta

x ϵ (- oo , - 1] U [ 1 , + oo )

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