Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 1.5 - Ex. 54
54-Seja uma região elíptica no plano e defina como a área da parte de que está sobre à esquerda da reta vertical . Prove que é uma função contínua de .[Sugestão: Suponha que a elipse esteja localizada entre as retas horizontais e , . Convença-se de que .]
Passo 1
Galerinha, vamos combinar uma coisa, ok?
é a área pintada em azul (não sei se é azul mesmo, mas a gente finge que é);
As restas e são respectivamente, e ;
A área em azul (?) é menor que a área do retângulo: .
Assim,
Sem considerar necessariamente , temos:
Com isso, dá pra mostrar que é contínua.
Passo 2
Como:
Pelo Teorema do Confronto:
Agora, nós temos que:
Amíguineos, percebam que aqui nós consideramos que um número é menor ou igual ao seu módulo e maior ou igual a menos o seu módulo.
Como,
De novo pelo Teorema do Confronto nós temos que:
Com isso,
Como podem ser quaisquer valores e, , em , nós provamos que é contínua em qualquer .
Fim!
Resposta
Demonstração acima.