Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 1.5 - Ex. 55
55- Seja uma região elíptica no plano. Dada qualquer reta , prove que existe uma reta perpendicular a que divide em duas regiões de mesma área.[Sugestão: Introduza coordenadas tais que coincida com o eixo . Use o resultado do exercício 54 e o Teorema do Valor Intermediário.]
Passo 1
Galerinha,
Seja a área total da elipse. Se pegarmos um tal que esteja totalmente à direita da elipse, nós teremos (toda elipse está a esquerda da reta). Se tomarmos tal que esteja totalmente à esquerda da elipse, então (nenhuma região da elipse está a esquerda da reta).
Assim, temos que:
e
Tahhh, mas o que tudo isso tem a ver com Teorema do Valor Intermediário e onde nós provamos que a reta perpendicular a que divide em duas regiões de mesma área: ???
Passo 2
Amiguíneooss, o TVI nos diz o seguinte:
Se for uma função contínua em um intervalo fechado e um número inteiro entre e , inclusive, então existe no mínimo um número no intervalo , tal que .
Como temos um intervalo fechado que o pertence, pelo teorema deve existir um (que é a nossa reta perpendicular a tal que .
Fim!
Resposta
Demonstração acima.