55- Determinação de volume Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região do primeiro quadrante delimitada pelos eixos coordenados e pela curva y = cos(x), 0 ≤ x ≤ pi/2 , em torno

  1. Do eixo das ordenadas.

Passo 1

Fazendo pelo método das cascas cilíndricas esse volume em torno do eixo y temos:

V = 2 π ∫ 0 π 2 x cos ⁡ x   d x

Onde cos ⁡ x é a altura e x o raio que varia de 0 a π / 2 .

Passo 2

Fazendo a integração por partes temos:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

u = x → d u = d x

d v = c o s x → v = sin ⁡ x

O que nos dá:

∫ x c o s   x = x sin ⁡ x - ∫ s i n   x   d x

∫ x c o s   x = x sin ⁡ x + cos ⁡ x

Passo 3

Substituindo na integral:

V = 2 π [ x s i n   x + cos ⁡ x ] 0 π 2

V = 2 π π 2 sin ⁡ π 2 + cos ⁡ π 2 - 0 - cos ⁡ 0

V = 2 π π 2 - 1

V = π [ π - 2 ]

Resposta

V = π [ π - 2 ]

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