Enunciado

48. Dois cilindros circulares retos, cada um tendo um raio de r unidades, têm seus eixos interceptando-se em ângulos retos. Ache o volume do sólido comum aos dois cilindros.

Passo 1

Não entendeu nadinha? Senta aí que você vai ver que não é tão difícil assim.

Ilustrando o que a questão pediu:

A esquerda os dois cilindros e a esquerda a região comum entre os dois.

Na intersecção dos dois cilindros é possível observar este quadrado:

Que terá a área igual a       A x =     r 2 - x 2 2 = r 2 - x 2 .

Mas isso é só em um lado, para termos referente a todo o sólido teremos que multiplicar por 4.( referente as 4 faces laterais)

Passo 2

Portanto, a integral ficará assim:

V = ∫ a b A ( x )   d x

V = 4 ∫ - r r r 2 - x 2   d x

Ou usando a simetria,

V = 2 ⋅ 4 ∫ 0 r r 2 - x 2   d x

= 8 r 2 x - x 3 3 | 0 r

= 8 r 2 r - r 3 3 - 0

= 16 r 3 3

Resposta

16 r 3 3

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