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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.1 - Ex. 44

44. A base de um sólido é a região encerrada por um círculo com raio de 4 cm de raio, e cada seção plana perpendicular a um diâmetro fixo da base é um triângulo isósceles com 10 cm de altura e uma corda do cìrculo como base. Ache o volume do sólido.

Passo 1

A questão fala que a base da figura é um circulo e em cima da base tem vários triângulos equiláteros,se liga na imagem:

Para montarmos a integral precisamos da área desse triangulo equilátero, a qual será dada por

A x = b a s e   x   a l t u r a 2    

A x = ( 2 y ) ⋅ 10 2    

A x = 10 y

Passo 2

Iremos reescrever y em função de x, para isso usaremos Pitágoras:

y 2 + x 2 = 4 2

y =   16 - x 2

Então, A ( x ) poderá ser reescrito como

A x = 10   16 - x 2

Passo 3

A integral ficará assim:

V = ∫ a b A ( x )   d x

V = 10 ∫ - 4 4   16 - x 2   d x

Mas é nesse momento que você se pergunta como resolver essa integral aí, mas calma aí, que tem uma forma bem malandra para fazer.

Passo 4

A função que está dentro da integral é

y =   16 - x 2 ,     y > 0

Ou

y 2 + x 2 = 4 2

Aaaah, essa equação é bem conhecida, é a da circunferência. Portanto, o valor da integral é igual a área de um semi-circulo multiplicado por 10.

Isto é,

V = 10 ⋅ 1 2 π 4 2

V = 80 π   c m 3

Resposta

V = 80 π   c m 3

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