45. A base de um sólido é a região a região do Exercício 43. Ache o volume do sólido se todas as secções planas perpendiculares a um diâmetro fixo da base forem triângulos isósceles de altura igual à distância da secção plana do centro do círculo. O lado do triângulo situado na base do sólido não é um dos lados de igual comprimento.

Passo 1

A questão fala que a base da figura é um circulo e em cima da base tem vários triângulos isósceles,se liga na imagem:

Para montarmos a integral precisamos da área desse triangulo, a qual será dada por

A x = b a s e   x   a l t u r a 2    

A base será 2 y .

A altura será x.

A x = 2 y ⋅   x 2    

A x = y ⋅ x

Passo 2

Iremos reescrever y em função de x, para isso usaremos Pitágoras:

y 2 + x 2 = 7 2

y =   49 - x 2

Então, A ( x ) poderá ser reescrito como

A x = x   49 - x 2

Passo 3

A integral ficará assim:

V = ∫ a b A ( x )   d x

V = ∫ - 7 7 x   49 - x 2   d x

V = 2 ∫ 0 7 x   49 - x 2   d x

= - ∫ 0 7 49 - x 2 1 2 ( - 2 x )   d x

2 3 49 - x 2 3 2 | 0 7

2 3 ⋅ 0 + 2 3 ⋅ 343 = 686 3

Resposta

686 3

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