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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.3 - Ex. 57

55-60. Usando a regra de L’Hôpital (Seção 3.6), podemos conferir que:

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x r = 0 ,   lim x → + ∞ ⁡ x r ln ⁡ x = + ∞ ,   lim x → 0 + ⁡ x r ln ⁡ x = 0

Com qualquer número real positivo r . Nestes exercícios:

a) Use esses limites, se necessário, para obter os limites de f x quando x → ∞ e x → 0 + .

b) Esboce o gráfico de f x e identifique todos os extremos relativos, os pontos de inflexão e as assíntotas (conforme o caso). Configura seu trabalho com um recurso gráfico.

57. f x = x 2 ln ⁡ 2 x

Passo 1

a) Então galera, para calcularmos os limites com x tendendo a + ∞ e com x tendendo a 0 + , caso não haja necessidade de utilizar L’Hôpital, basta aplicarmos os limites, ok? A função que nos foi dada é:

f x = x 2 ln ⁡ 2 x

Calculando o primeiro limite, teremos:

lim x → + ∞ ⁡ x 2 ln ⁡ 2 x = + ∞

Por fim, calculando o segundo:

lim x → 0 + ⁡ x ln ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ 2 x 1 x 2

Usando L’Hopital:

lim x → 0 + ⁡ 1 x - 2 x 3 = 0

Ok, a primeira parte foi finalizada! Do resultado que encontramos podemos concluir que nosso gráfico não possui assíntotas significativas.

Passo 2

b) Caso não se lembre, para identificarmos os pontos de extremos relativos de uma função devemos fazer uma análise dos pontos críticos da mesma, isto é, analisar os pontos em que f ' x = 0 ou os pontos em que f ' x não existe! Ademais, para identificarmos os pontos de inflexão devemos fazer a mesma análise dos extremos, mas agora para f ' ' x = 0 , ok? Vamo que vamo!

Derivando a nossa função, teremos:

f ' x = 2 x . ln ⁡ 2 x + x 2 . 1 x

f ' x = 2 x . ln ⁡ 2 x + x

f ' x = x 2 ln ⁡ 2 x + 1

Igualando a nossa derivada a zero, teremos:

x 2 ln ⁡ 2 x + 1 = 0

A primeira possibilidade para esse produto dar zero é se:

x = 0

A segunda possibilidade para esse produto dar zero é se:

2 ln ⁡ 2 x + 1 = 0

ln ⁡ 2 x = - 1 2

Aplicando a propriedade fundamental de logaritmos:

e - 1 2 = 2 x

x = e - 1 2 2

Então esses são os nossos pontos de extremo, galera!

Passo 3

Os pontos de inflexão de uma função são os pontos no qual a função muda de concavidade, ou seja, sai de f ' ' x > 0 e vira f ' ' x < 0 e vice-versa! Derivando a nossa derivada, teremos:

f ' ' x = 1 . 2 ln ⁡ 2 x + 1 + x . 2 x

f ' ' x = 2 ln ⁡ 2 x + 3

Igualando a nossa derivada a zero, teremos:

2 ln ⁡ 2 x + 3 = 0

ln ⁡ 2 x = - 3 2

Aplicando a propriedade fundamental de logaritmos:

x = e - 3 2 2

Então esse é nosso ponto de inflexão, galera!

Passo 4

Substituindo na nossa função original os valores importantes de x que encontramos, teremos:

f e - 1 2 2 = e - 1 2 2 2 . ln ⁡ e - 1 2 2   = - 1 8 e

f e - 3 2 2 = e - 3 2 2 2 . ln ⁡ e - 3 2 2 = - 3 8 e 3

Show! Por fim, plotando o gráfico da função, teremos:

E pelo gráfico notamos que:

x = e - 1 2 2 → P o n t o   d e   m í n i m o

x = e - 3 2 2 → P o n t o   d e   i n f l e x ã o

E está aí nossa resolução! 😉

Resposta

a) lim x → + ∞ ⁡ y = + ∞

lim x → 0 + ⁡ y = 0

b) Ponto(s) de extremo(s) relativo(s): x = e - 1 2 2 ;

Ponto(s) de inflexão: x = e - 3 2 2 ;

Gráfico:

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