Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.3 - Ex. 52
- Encontre as assíntotas verticais e horizontais.
- Encontre os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente.
- Encontre os valores máximos e mínimos locais.
- Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
- Use a informação das partes (a) – (d) pra esboçar o gráfico de .
Passo 1
Fala aí, tudo belezinha com você?
Bom, essa questão dá pra gente a função
E teremos que dizer algumas coisas sobre ela.
No item (a) teremos que encontrar as assíntotas vertical e horizontal, e para isso temos que lembrar do que diz a teoria sobre as assíntotas:
Uma assíntota horizontal é uma reta horizontal de onde a função se aproxima quando tende para . Para encontrarmos essa reta
Já para acharmos as assíntotas verticais, basta acharmos os pontos tais que:
No item (b), precisamos encontrar os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente.
Para saber isso podemos usar as informações dadas pela derivada da função, pois ela representa a inclinação da reta tangente ao gráfico da função. Assim, se
Significa que a função é crescente, já que a reta tangente tem derivada positiva. E se
A função é decrescente, já que a derivada é negativa.
No item (c), queremos encontrar os valores de máximo e mínimo locais.
Para isso também usamos a ideia dada pela inclinação da reta tangente. Ou seja, a derivada. Assim:
Teremos um ponto de máximo ou mínimo da função, já que a inclinação da reta tangente será nula.
No item (d) vamos encontrar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
E aqui faremos uso da derivada segunda. Sabendo que se:
Nossa curva terá concavidade para baixo.
E se
E nossa curva terá concavidade para cima.
E finalmente, no item (e) vamos usar as informações das partes (a)-(d) para esboçar o gráfico de .
Agora que já sabemos o que fazer em cada item, vem comigo que te mostro como vai ficar tudo isso.
Passo 2
Vamos resolver por ordem dos itens, beleza?
No item a) precisamos achar as assíntotas, então vamos calcular o limite.
Primeiro, vamos achar assíntota horizontal,
é assíntota horizontal.
Agora, vamos encontrar as assíntotas verticais. Como
é assíntota vertical.
Passo 3
Vamos resolver o item b) agora.
No item b) precisamos achar onde cresce ou decresce, mas pra isso precisamos da derivada e dos pontos críticos, então vamos encontrá-los.
Derivando , usando a regra do produto, temos que
Organizando as contas,
Precisamos achar nossos candidatos a máximo e mínimo, ou seja, pontos críticos. Já temos o primeiro, pois torna mal definida.
Agora, vamos encontrar o resto.
Não tem solução, pois E mais, perceba que é sempre crescente pois sempre.
Passo 4
Respondendo o item c)
Como a derivada não troca de sinal, não existe mínimo e nem máximo.
Passo 5
Precisamos saber da concavidade da função, beleza? Então vamos calcular a segunda derivada.
Usando a regra do quociente, temos que
Arrumando as contas,
Perceba que nosso primeiro candidato a ponto de inflexão é pois nele a está mal definida. Vamos achar o resto agora,
Ou seja
Colocando em evidência,
Temos que
Aplicando o
Temos o candidatos
Passo 6
Agora temos que analisar o que acontece nas proximidades do ponto que encontramos no passo anterior, para verificar se ele é mesmo um ponto de inflexão. Vamos lá!
- se
- se
(você pode verificar isso pegando números menores que 6 e aplicando na derivada).
é côncava para cima em . É côncava para baixo em . Temos que , é ponto de inflexão.
Passo 7
Agora, temos que esboçar o gráfico. Partiu!
Resposta
é sempre crescente
não tem máximo e nem mínimo.
é côncava para cima em.
É côncava para baixo em .
Temos que , é ponto de inflexão.
